Encontre a dimensão e uma base do espaço vetorial definido por todas as soluções dos sistemas abaixo:
(c) \left\{\begin{array}{l}4 x_{1}-12 x_{2}+8 x_{3}+x_{4}=0 \\\ x_{1}-3 x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=0 \\\\ 5 x_{1}-15 x_{2}+6 x_{3}+2 x_{4}=0 \\\\ 2 x_{1}-6 x_{2}+12 x_{3}-x_{4}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a dimensão e uma base do espaço vetorial formado por todas as soluções do sistema homogêneo
\begin{cases} 4x_{1}-12x_{2}+8x_{3}+x_{4}=0\\[4pt] x_{1}-3x_{2}-2x_{3}+x_{4}=0\\[4pt] 5x_{1}-15x_{2}+6x_{3}+2x_{4}=0\\[4pt] 2x_{1}-6x_{2}+12x_{3}-x_{4}=0 \end{cases}
Informações relevantes dadas: são quatro equações lineares homogêneas em quatro incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\,. Queremos descrever o conjunto solução como um subespaço de \mathbb{R}^{4}: achar sua dimensão e uma base (vetores que geram o espaço e são linearmente independentes).]

Passo 2

Vou escrever a matriz dos coeficientes (como é homogêneo, não preciso da coluna de termos independentes além de zeros):
A=\begin{pmatrix} 4 & -12 & 8 & 1\\[4pt] 1 & -3 & -2 & 1\\[4pt] 5 & -15 & 6 & 2\\[4pt] 2 & -6 & 12 & -1 \end{pmatrix}.
Explicação rápida (aula mini): para achar o espaço solução de um sistema homogêneo A\mathbf{x}=0 usamos eliminação linear (redução por linhas) para expressar variáveis dependentes em função de variáveis livres; o número de variáveis livres será a dimensão do espaço solução.]

Passo 3

Faço operações elementares para triangularizar/ reduzir A. Vou usar a segunda linha \,(1\; -3\; -2\; 1)\, como pivô porque tem entrada 1 no início (facilita contas).
Operações:
\begin{aligned} R_1 &\leftarrow R_1-4R_2,\\[2pt] R_3 &\leftarrow R_3-5R_2,\\[2pt] R_4 &\leftarrow R_4-2R_2. \end{aligned}
Calculemos cada nova linha:
R_1-4R_2=(4-4,\;-12+12,\;8+8,\;1-4)=(0,0,16,-3),
R_3-5R_2=(5-5,\;-15+15,\;6+10,\;2-5)=(0,0,16,-3),
R_4-2R_2=(2-2,\;-6+6,\;12+4,\;-1-2)=(0,0,16,-3).
Depois dessas operações a matriz fica
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 16 & -3\\[4pt] 1 & -3 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 16 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 16 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Repare que as linhas 1,3,4 são todas iguais. Posso subtrair R_1 de R_3 e de R_4 para anular essas linhas repetidas:
R_3\leftarrow R_3-R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_1,
obtendo duas linhas nulas. Assim, apenas duas linhas não-nulas permanecem. Agora divido a linha não-nula por 16 para ter pivô 1 na coluna 3:
R_1\leftarrow \frac{1}{16}R_1 = (0,0,1,-\tfrac{3}{16}).
A matriz reduzida por linhas (em forma escalonada) fica
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -\tfrac{3}{16}\\[6pt] 1 & -3 & -2 & 1\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora elimino a entrada -2 em posição (2,3) usando R_1:
R_2\leftarrow R_2 + 2R_1.
Como R_1=(0,0,1,-\tfrac{3}{16}), temos
R_2=(1,-3, -2,1)+2(0,0,1,-\tfrac{3}{16})=(1,-3,0,1-\tfrac{6}{16})=(1,-3,0,\tfrac{5}{8}).
Assim a forma reduzida relevante é
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & \tfrac{5}{8}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{3}{16}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretando as equações (cada linha corresponde a uma equação):
da segunda linha (agora primeira na ordem que usei) temos
x_{1}-3x_{2}+ \tfrac{5}{8}x_{4}=0,
da primeira linha reduzida temos
x_{3}-\tfrac{3}{16}x_{4}=0.
Reescrevendo:
x_{3}=\tfrac{3}{16}x_{4},\qquad x_{1}=3x_{2}-\tfrac{5}{8}x_{4}.

Passo 7

Escolho as variáveis livres. Tipicamente escolhemos as colunas sem pivô como livres: aqui \,x_{2} e \,x_{4} são livres. Ponha
s:=x_{2},\qquad t:=x_{4}.
Então
x_{1}=3s-\tfrac{5}{8}t,\qquad x_{2}=s,\qquad x_{3}=\tfrac{3}{16}t,\qquad x_{4}=t.
Escrevendo o vetor solução \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} como combinação linear:
\mathbf{x}=s\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{8}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{3}{16}\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 8

É melhor escolher vetores da base com entradas inteiras. Multiplico o segundo vetor por 16 (um múltiplo não muda o espaço gerado); se eu usar parâmetro b tal que t=16b, então
t\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{8}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{3}{16}\\[4pt]1\end{pmatrix} =16b\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{8}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{3}{16}\\[4pt]1\end{pmatrix} =b\begin{pmatrix}-10\\[4pt]0\\[4pt]3\\[4pt]16\end{pmatrix}.
Portanto uma forma limpa da solução é
\mathbf{x}=a\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}-10\\[4pt]0\\[4pt]3\\[4pt]16\end{pmatrix},
com a,b\in\mathbb{R}. Esses dois vetores são linearmente independentes (surgiram de variáveis livres distintas), logo formam uma base do espaço solução.]

Resposta

Dimensão: \;2
Base: \;\displaystyle \left\{\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-10\\[4pt]0\\[4pt]3\\[4pt]16\end{pmatrix}\right\}]

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