Encontre a dimensão e uma base do espaço vetorial definido por todas as soluções dos sistemas abaixo:
(c) \left\{\begin{array}{l}4 x_{1}-12 x_{2}+8 x_{3}+x_{4}=0 \\\ x_{1}-3 x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=0 \\\\ 5 x_{1}-15 x_{2}+6 x_{3}+2 x_{4}=0 \\\\ 2 x_{1}-6 x_{2}+12 x_{3}-x_{4}=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a dimensão e uma base do espaço vetorial formado por todas as soluções do sistema homogêneo
Informações relevantes dadas: são quatro equações lineares homogêneas em quatro incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\,. Queremos descrever o conjunto solução como um subespaço de \mathbb{R}^{4}: achar sua dimensão e uma base (vetores que geram o espaço e são linearmente independentes).]
Passo 2
Vou escrever a matriz dos coeficientes (como é homogêneo, não preciso da coluna de termos independentes além de zeros):
Explicação rápida (aula mini): para achar o espaço solução de um sistema homogêneo A\mathbf{x}=0 usamos eliminação linear (redução por linhas) para expressar variáveis dependentes em função de variáveis livres; o número de variáveis livres será a dimensão do espaço solução.]
Passo 3
Faço operações elementares para triangularizar/ reduzir A. Vou usar a segunda linha \,(1\; -3\; -2\; 1)\, como pivô porque tem entrada 1 no início (facilita contas).
É melhor escolher vetores da base com entradas inteiras. Multiplico o segundo vetor por 16 (um múltiplo não muda o espaço gerado); se eu usar parâmetro b tal que t=16b, então
com a,b\in\mathbb{R}. Esses dois vetores são linearmente independentes (surgiram de variáveis livres distintas), logo formam uma base do espaço solução.]