Sejam as funções reais f_{1}(\eta)=-\frac{1}{2}\left(\eta-\eta^{2}\right), f_{2}(\eta)=\left(1-\eta^{2}\right) e f_{3}(\eta)=\frac{1}{2}\left(\eta+\eta^{2}\right) definidas no intervalo -1 \leq \eta \leq+1. Essas funções, também conhecidas como funções de forma em formulações do MEF (Método dos Elementos Finitos), definem o elemento finito unidimensional parabólico (de 3 nós). Pede-se:
(a) Fazer esboço gráfico das funções.
(b) Pode-se afirmar que f_{1}, f_{2} e f_{3} são l.i.'s?
(c) Pode-se afirmar que cada função do espaço V definido pelo conjunto de todas as funções polinomiais f(\eta):[-1,1] \rightarrow R de ordem menor ou igual a 2 possui representação única em termos de f_{1}, f_{2} e f_{3} ?
(d) Pode-se afirmar que f_{1}, f_{2} e f_{3} constitui uma base para o espaço de todas as funções polinomiais f(\eta):[-1,1] \rightarrow R de ordem superior ou igual 3?
Justifique o que for necessário!

Passo 1

Enunciado e o que se pede (resumido e claro):
  • Estão dadas as funções definidas em [-1,1]: f_{1}(\eta)=-\tfrac{1}{2}\bigl(\eta-\eta^{2}\bigr),\quad f_{2}(\eta)=1-\eta^{2},\quad f_{3}(\eta)=\tfrac{1}{2}\bigl(\eta+\eta^{2}\bigr).
  • Perguntas:
    (a) Fazer esboço gráfico de f_{1},f_{2},f_{3} no intervalo [-1,1].
    (b) Ver se f_{1},f_{2},f_{3} são linearmente independentes (l.i.).
    (c) Ver se qualquer polinômio de ordem menor ou igual a 2 tem representação única em termos de f_{1},f_{2},f_{3}.
    (d) Ver se f_{1},f_{2},f_{3} constituem uma base para o espaço de todos os polinômios de ordem superior ou igual a 3.
Dados relevantes extraídos do enunciado: domínio [-1,1]; cada f_i é um polinômio de grau no máximo 2. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Preparação para desenhar os gráficos — lembrete prático sobre quadráticas:
  • Uma função quadrática geral tem forma \,g(\eta)=a\eta^{2}+b\eta+c.,
  • Se a>0 a parábola abre para cima (mínimo); se a<0 abre para baixo (máximo).
  • Vértice em \eta_v=-\dfrac{b}{2a} e valor no vértice g(\eta_v).
  • Raízes são os zeros da função; valores em pontos chave \eta=-1,0,1 ajudam no esboço.
Agora transformo cada f_i na forma padrão a\eta^{2}+b\eta+c e calculo pontos chave.

Passo 3

Análise de f_{1}:
  • Reescrevendo: f_{1}(\eta)=-\tfrac{1}{2}(\eta-\eta^{2})=\tfrac{1}{2}\eta^{2}-\tfrac{1}{2}\eta.Logo a=\tfrac{1}{2},\;b=-\tfrac{1}{2},\;c=0.
  • Raízes: fatorando \,f_{1}(\eta)=\tfrac{1}{2}\eta(\eta-1)\, então raízes em \eta=0 e \eta=1.
  • Vértice: \eta_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-\tfrac{1}{2}}{2\cdot\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{2}.
  • Valor no vértice: f_{1}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{8}.
  • Valores em pontos extremos do intervalo: f_{1}(-1)=\tfrac{1}{2}\cdot1-\tfrac{1}{2}\cdot(-1)=1,\quad f_{1}(0)=0,\quad f_{1}(1)=0.
  • Descrição do esboço para f_{1}: parábola que abre para cima, passa por (\,-1,1\,), por (0,0) e (1,0), tem mínimo -\tfrac{1}{8} em \eta=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Análise de f_{2}:
  • Já está em forma: f_{2}(\eta)=1-\eta^{2} = -\eta^{2}+0\cdot\eta+1,então a=-1,\;b=0,\;c=1.
  • Raízes: 1-\eta^{2}=0\Rightarrow \eta=\pm 1.
  • Vértice: \eta_v=-\dfrac{b}{2a}=0. Valor f_{2}(0)=1.
  • Valores em pontos extremos: f_{2}(-1)=0,\quad f_{2}(0)=1,\quad f_{2}(1)=0.
  • Descrição do esboço para f_{2}: parábola que abre para baixo, simétrica em \eta=0, máximo 1 em \eta=0, zera em \eta=\pm1.

Passo 5

Análise de f_{3}:
  • Reescrevendo: f_{3}(\eta)=\tfrac{1}{2}(\eta+\eta^{2})=\tfrac{1}{2}\eta^{2}+\tfrac{1}{2}\eta.Então a=\tfrac{1}{2},\;b=\tfrac{1}{2},\;c=0.
  • Raízes: fatorando \,f_{3}(\eta)=\tfrac{1}{2}\eta(1+\eta)\, então raízes em \eta=0 e \eta=-1.
  • Vértice: \eta_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\tfrac{1}{2}}{2\cdot\tfrac{1}{2}}=-\tfrac{1}{2}.
  • Valor no vértice: f_{3}\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+\tfrac{1}{2}\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{8}.
  • Valores em pontos extremos: f_{3}(-1)=0,\quad f_{3}(0)=0,\quad f_{3}(1)=1.
  • Descrição do esboço para f_{3}: parábola que abre para cima, passa por (\,-1,0\,), (0,0), (1,1), tem mínimo -\tfrac{1}{8} em \eta=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Resumo gráfico (para você desenhar rápido na prova):
  • f_{1}: parábola com zeros em \eta=0,1, valor \,f_{1}(-1)=1, mínimo -\tfrac{1}{8} em \eta=\tfrac{1}{2}.
  • f_{2}: parábola invertida (abre para baixo) com máximo 1 em \eta=0, zeros em \eta=\pm1.
  • f_{3}: parábola com zeros em \eta=-1,0, valor \,f_{3}(1)=1, mínimo -\tfrac{1}{8} em \eta=-\tfrac{1}{2}.
Agora passamos às perguntas de álgebra linear (l.i., representação única, base).

Passo 7

Estratégia para (b) e (c): trabalhar no espaço dos polinômios de grau \le 2 (denotado por P_{2}), que tem dimensão 3 e base canônica \{1,\eta,\eta^{2}\}. Vou representar f_{1},f_{2},f_{3} nas coordenadas dessa base e usar determinante para testar linearidade/independência.
Escrevo coeficientes na ordem (1,\eta,\eta^{2}):
  • Para f_{1}(\eta)=\tfrac{1}{2}\eta^{2}-\tfrac{1}{2}\eta o vetor de coeficientes é \begin{pmatrix}0\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Para f_{2}(\eta)=1-\eta^{2} o vetor é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Para f_{3}(\eta)=\tfrac{1}{2}\eta+\tfrac{1}{2}\eta^{2} o vetor é \begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Coloco esses vetores como colunas da matriz cujas colunas são as coordenadas de f_{1},f_{2},f_{3}:
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & -1 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Cálculo do determinante de A (para testar l.i.):
  • Expandindo pela primeira linha (aproveitando que só o elemento (1,2) é não nulo na primeira linha): \det(A) = (-1)^{1+2}\cdot 1 \cdot \det\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix} = -1\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\Bigr).
  • Dentro do parêntese: -\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{2}.
  • Portanto \det(A) = -1\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\neq 0.]

Passo 9

Conclusão sobre (b): como \det(A)\neq 0, as colunas de A (isto é, f_{1},f_{2},f_{3}) são linearmente independentes. Explicando em palavras simples: a única combinação linear \alpha f_{1}+\beta f_{2}+\gamma f_{3}=0 é \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 10

Conclusão sobre (c): o espaço P_{2} (polinômios de grau \le 2) tem dimensão 3 e \{f_{1},f_{2},f_{3}\} é um conjunto de 3 vetores linearmente independentes em P_{2}. Teorema básico de espaços vetoriais: em um espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores l.i. é uma base. Logo:
  • f_{1},f_{2},f_{3} formam uma base de P_{2}.
  • Assim, qualquer polinômio p(\eta)=a+b\eta+c\eta^{2} tem representação única como combinação linear de f_{1},f_{2},f_{3} (pois o sistema linear para encontrar os coeficientes tem única solução por \det(A)\neq 0).

Passo 11

Resposta à (d): interpretação e argumento simples por grau/dimensão:
  • O conjunto de todos os polinômios de ordem superior ou igual a 3 (isto é, polinômios cujo grau pode ser 3,4,5,\dots, ou o espaço de todos os polinômios com grau não limitado) é infinito-dimensional; em particular contém polinômios de grau 3 como \eta^{3}.
  • Uma combinação linear de f_{1},f_{2},f_{3} é sempre um polinômio de grau no máximo 2 (soma de polinômios de grau \le 2 tem grau \le 2). Portanto não é possível gerar um polinômio de grau 3 (por exemplo \eta^{3}) a partir de f_{1},f_{2},f_{3}.
  • Conclusão: não, f_{1},f_{2},f_{3} não constituem uma base para o espaço dos polinômios de ordem \ge 3 (nem para espaço infinito de polinômios de grau arbitrário), porque não o spaneariam.

Resposta

(a) Esboços: f_{1}(\eta)=\tfrac{1}{2}\eta^{2}-\tfrac{1}{2}\eta é uma parábola que abre para cima, com zeros em \eta=0,1, f_{1}(-1)=1 e mínimo f_{1}(\tfrac{1}{2})=-\tfrac{1}{8}; f_{2}(\eta)=1-\eta^{2} é uma parábola que abre para baixo, com máximo f_{2}(0)=1 e zeros em \eta=\pm1; f_{3}(\eta)=\tfrac{1}{2}\eta^{2}+\tfrac{1}{2}\eta é uma parábola que abre para cima, com zeros em \eta=-1,0, f_{3}(1)=1 e mínimo f_{3}(-\tfrac{1}{2})=-\tfrac{1}{8}.
(b) Sim. f_{1},f_{2},f_{3} são linearmente independentes (a matriz de coeficientes relativo a \{1,\eta,\eta^{2}\} tem \det=\tfrac{1}{2}\neq0).
(c) Sim. Como são 3 vetores l.i. em P_{2} (dimensão 3), formam base de P_{2}; portanto todo polinômio de grau \le2 tem representação única em termos de f_{1},f_{2},f_{3}.
(d) Não. Não podem ser base do espaço de polinômios de ordem \ge3 (ou do espaço de todos os polinômios), pois combinações lineares delas têm grau \le2 e não podem gerar polinômios de grau 3 (o espaço alvo é de dimensão maior/infinita).

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