Encontre as dimensões (altura e diâmetro) de uma latinha de doce cilíndrica com volume de 500 ml de tal forma que o gasto de material, para produzí-la, seja o menor possível.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as dimensões (altura e diâmetro) de uma latinha cilíndrica com volume dado de 500 ml de modo que o gasto de material (área de superfície) seja mínimo. Informações relevantes fornecidas:
  • Volume fixo: V=500 ml. Vou usar a equivalência usual 1\\ \text{ml}=1\\ \text{cm}^3, logo V=500\\ \text{cm}^3.
  • A latinha é um cilindro fechado (tem tampa e fundo) — portanto o material inclui a lateral mais as duas bases.
  • Variáveis incógnitas: raio da base r (em cm) e altura h (em cm). O diâmetro é d=2r.
    Não se resolve nada ainda aqui — só listei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Vou escrever as fórmulas básicas que precisamos (explicando cada termo).
  • Volume do cilindro: V=\pi r^{2}h,
onde \pi é a constante (aprox. 3{,}1416), r é o raio da base e h é a altura. A interpretação: \pi r^{2} é a área da base e multiplicando por h obtemos o volume.
  • Área total do cilindro (material gasto): S=\text{área lateral}+\text{área das duas bases} = 2\pi r h + 2\pi r^{2}.áá
Aqui 2\pi r h é a área lateral (perímetro da base \times altura) e 2\pi r^{2} é a soma das áreas da tampa e do fundo (cada base tem área \pi r^{2}).

Passo 3

Formulamos o problema de otimização: minimizar a função \,S(r,h)=2\pi r h + 2\pi r^{2}\, sujeita à restrição \,V=\pi r^{2}h=500. Como temos a restrição, é prático eliminar h usando a equação do volume, ficando apenas com uma função de uma variável r.

Passo 4

Isolando h a partir do volume:
\pi r^{2}h = V \quad\Rightarrow\quad h = \frac{V}{\pi r^{2}}.
Explicação: resolvemos a equação do volume para h dividindo ambos os lados por \pi r^{2}. Agora podemos substituir esse h na expressão de S.

Passo 5

Substituindo h em S:
S(r)=2\pi r\left(\frac{V}{\pi r^{2}}\right)+2\pi r^{2}.
Simplificando o primeiro termo: \,2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{2V}{r}\,. Assim obtemos a função de uma variável
S(r)=\frac{2V}{r}+2\pi r^{2}.
Comentário didático: agora o problema virou "encontre r>0 que minimize S(r)". Trabalhar com uma única variável facilita usar derivada para encontrar mínimo.

Passo 6

Vamos usar cálculo (derivadas) para achar o mínimo. Primeiro calculamos a derivada de S em relação a r.
Derivando termo a termo:
  • Derivada de \,\frac{2V}{r}=2V\cdot r^{-1} é -2V\cdot r^{-2} (regra potência: \frac{d}{dr}r^{n}=n r^{n-1}).
  • Derivada de 2\pi r^{2} é 4\pi r (porque \frac{d}{dr}r^{2}=2r, multiplicando por 2\pi 4\pi r).
    Portanto
S'(r) = -\frac{2V}{r^{2}} + 4\pi r.

Passo 7

Para obter candidatos a mínimo, igualamos a derivada a zero:
-\frac{2V}{r^{2}} + 4\pi r = 0.
Isolando termos:
4\pi r = \frac{2V}{r^{2}}.
Multiplicando por r^{2}:
4\pi r^{3} = 2V.
Dividindo ambos os lados por 4\pi:
r^{3} = \frac{2V}{4\pi} = \frac{V}{2\pi}.
Logo
r = \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1/3}.
Explicação: obtivemos uma expressão explícita do raio ótimo em termos do volume dado.

Passo 8

Verificamos que essa solução dá mínimo (e não máximo) usando a segunda derivada. Calculando S''(r):
S''(r) = \frac{4V}{r^{3}} + 4\pi.
Observação: ambos os termos são positivos para r>0, então S''(r)>0 para todo r>0. Em particular no raio crítico r=\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1/3} temos S''>0, o que garante que a função é convexa ali e que o ponto crítico é um mínimo. Conclusão: o r encontrado minimiza a área.

Passo 9

Agora encontramos a altura h correspondente. Usando \,h=\frac{V}{\pi r^{2}} e substituindo r^{3}=\frac{V}{2\pi}, uma maneira fácil de simplificar é observar:
h=\frac{V}{\pi r^{2}}=\frac{V}{\pi r^{2}}\cdot\frac{r}{r}=\frac{Vr}{\pi r^{3}}.
Como r^{3}=\frac{V}{2\pi}, substituindo:
h=\frac{Vr}{\pi}\cdot\frac{2\pi}{V}=2r.
Portanto o resultado elegante e importante: a altura ótima é igual ao diâmetro da lata:
h=2r \quad\Rightarrow\quad h=d.
Interpretação física: para um cilindro fechado com volume fixo, o gasto de material mínimo ocorre quando a altura é igual ao diâmetro.

Passo 10

Agora calculamos os valores numéricos para V=500\\ \text{cm}^3.
  • Primeiro o raio:
r=\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1/3}=\left(\frac{500}{2\pi}\right)^{1/3}=\left(\frac{250}{\pi}\right)^{1/3}.
Aproximando numericamente ( \pi\approx 3{,}1416):
\frac{250}{\pi}\approx 79{,}5775,\quad \text{e}\quad r\approx 4{,}31\\ \text{cm}.
  • Então a altura e o diâmetro (que são iguais) valem:
h=2r\approx 2\cdot 4{,}31 \approx 8{,}62\\ \text{cm},
d=2r\approx 8{,}62\\ \text{cm}.
(Arredondei aqui para duas casas decimais; em prova vale mostrar a expressão exata em radical cubico e arredondar se pedirem valor numérico.)

Resposta

Altura: 8{,}62\\ \text{cm}
Diâmetro: 8{,}62\\ \text{cm}

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