Encontre as dimensões (altura e diâmetro) de uma latinha de doce cilíndrica com volume de 500 ml de tal forma que o gasto de material, para produzí-la, seja o menor possível.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as dimensões (altura e diâmetro) de uma latinha cilíndrica com volume dado de
ml de modo que o gasto de material (área de superfície) seja mínimo. Informações relevantes fornecidas:
- Volume fixo:
ml. Vou usar a equivalência usual , logo . - A latinha é um cilindro fechado (tem tampa e fundo) — portanto o material inclui a lateral mais as duas bases.
- Variáveis incógnitas: raio da base
(em cm) e altura (em cm). O diâmetro é .
Não se resolve nada ainda aqui — só listei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Vou escrever as fórmulas básicas que precisamos (explicando cada termo).
- Volume do cilindro:
onde
é a constante (aprox.
),
é o raio da base e
é a altura. A interpretação:
é a área da base e multiplicando por
obtemos o volume.
- Área total do cilindro (material gasto):
Aqui
é a área lateral (perímetro da base
altura) e
é a soma das áreas da tampa e do fundo (cada base tem área
).
Passo 3
Formulamos o problema de otimização: minimizar a função
sujeita à restrição
. Como temos a restrição, é prático eliminar
usando a equação do volume, ficando apenas com uma função de uma variável
.
Passo 4
Isolando
a partir do volume:
Explicação: resolvemos a equação do volume para
dividindo ambos os lados por
. Agora podemos substituir esse
na expressão de
.
Passo 5
Substituindo
em
:
Simplificando o primeiro termo:
. Assim obtemos a função de uma variável
Comentário didático: agora o problema virou "encontre
que minimize
". Trabalhar com uma única variável facilita usar derivada para encontrar mínimo.
Passo 6
Vamos usar cálculo (derivadas) para achar o mínimo. Primeiro calculamos a derivada de
em relação a
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
- Derivada de
é (regra potência: ). - Derivada de
é (porque , multiplicando por dá ).
Portanto
Passo 7
Para obter candidatos a mínimo, igualamos a derivada a zero:
Isolando termos:
Multiplicando por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Logo
Explicação: obtivemos uma expressão explícita do raio ótimo em termos do volume dado.
Passo 8
Verificamos que essa solução dá mínimo (e não máximo) usando a segunda derivada. Calculando
:
Observação: ambos os termos são positivos para
, então
para todo
. Em particular no raio crítico
temos
, o que garante que a função é convexa ali e que o ponto crítico é um mínimo. Conclusão: o
encontrado minimiza a área.
Passo 9
Agora encontramos a altura
correspondente. Usando
e substituindo
, uma maneira fácil de simplificar é observar:
Como
, substituindo:
Portanto o resultado elegante e importante: a altura ótima é igual ao diâmetro da lata:
Interpretação física: para um cilindro fechado com volume fixo, o gasto de material mínimo ocorre quando a altura é igual ao diâmetro.
Passo 10
Agora calculamos os valores numéricos para
.
- Primeiro o raio:
Aproximando numericamente (
):
- Então a altura e o diâmetro (que são iguais) valem:
(Arredondei aqui para duas casas decimais; em prova vale mostrar a expressão exata em radical cubico e arredondar se pedirem valor numérico.)
Resposta
Altura:
Diâmetro: