Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada uma das funções abaixo.
g(t)=e^{1 / t}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os intervalos de crescimento (onde a função aumenta) e de decrescimento (onde a função diminui) da função
g(t)=e^{1/t}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A fórmula da função é g(t)=e^{1/t}.
  • O domínio fica com todos os t tais que t\neq 0 (porque 1/t não está definido em t=0).
  • A função está definida em dois ramos desconectados: (-\infty,0) e (0,\infty).
    Não vou resolver nada aqui — só identifiquei o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática):
  • Para saber se uma função cresce ou decresce usamos a derivada. Regra prática: se g'(t)>0 em um intervalo então g é crescente nesse intervalo; se g'(t)<0 então g é decrescente.
  • Preciso, portanto, calcular g'(t) e analisar o sinal dela em cada parte do domínio. Vou explicar cada passo do cálculo da derivada.

Passo 3

Cálculo da derivada (passo a passo, com explicação das regras usadas):
  • A função é uma composição g(t)=\exp(u(t)) com u(t)=1/t. A derivada da exponencial segue a regra da cadeia: a derivada de \exp(u(t)) é \exp(u(t))\cdot u'(t).
  • Agora calcule u'(t) para u(t)=1/t. Como 1/t = t^{-1}, derivando obtemos
u'(t)=\frac{d}{dt}\big(t^{-1}\big)=-1\cdot t^{-2}=-\frac{1}{t^{2}}.
  • Aplicando a regra da cadeia:
g'(t)=e^{1/t}\cdot\left(-\frac{1}{t^{2}}\right).
  • Podemos escrever de forma mais limpa:
g'(t)=-\frac{e^{1/t}}{t^{2}}.

Passo 4

Análise do sinal de g'(t) (explicação detalhada):
  • Para todo t\neq 0 temos e^{1/t}>0 (a exponencial é sempre positiva) e t^{2}>0.
  • Logo o quociente \dfrac{e^{1/t}}{t^{2}} é sempre estritamente positivo para t\neq 0.
  • Como há um sinal negativo na frente, concluímos que, para todo t\neq 0,
g'(t)=-\frac{e^{1/t}}{t^{2}}<0.
  • Isso significa que a derivada é negativa em toda a parte do domínio: em (-\infty,0) e em (0,\infty).

Passo 5

Conclusão sobre monotonicidade (como usar a informação do passo anterior na prova):
  • Se g'(t)<0 em um intervalo, então g é estritamente decrescente nesse intervalo. Aqui g'(t) é negativa em todo o domínio (exceto em t=0, que não pertence ao domínio), portanto g é estritamente decrescente em ambos os ramos do domínio.
  • Não há nenhum subintervalo onde g'(t)>0, portanto não existe intervalo de crescimento no domínio.

Passo 6

Observações finais que ajudam a entender o comportamento (intuição útil para a prova):
  • Para visualizar: em t\to 0^+ temos 1/t\to+\infty então g(t)=e^{1/t}\to+\infty. Em t\to 0^- temos 1/t\to-\infty então g(t)\to 0. Em t\to\pm\infty temos 1/t\to 0 então g(t)\to e^{0}=1.
  • Essas observações não mudam a monotonicidade, mas dão intuição sobre por que o ramo à direita de zero decresce de +\infty para 1 e o ramo à esquerda decresce de 1 para 0.
  • Força aí: em prova, calcule a derivada, simplifique e analise sinais — funciona quase sempre para questões de crescimento/decrescimento.

Resposta

Intervalos de crescimento: nenhum
Intervalos de decrescimento: (-\infty,0) e (0,\infty)

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