Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada uma das funções abaixo.
g(t)=e^{1 / t}
g(t)=e^{1 / t}
Passo 1
O enunciado pede: determinar os intervalos de crescimento (onde a função aumenta) e de decrescimento (onde a função diminui) da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A fórmula da função é
. - O domínio fica com todos os
tais que (porque não está definido em ). - A função está definida em dois ramos desconectados:
e .
Não vou resolver nada aqui — só identifiquei o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicação didática):
- Para saber se uma função cresce ou decresce usamos a derivada. Regra prática: se
em um intervalo então é crescente nesse intervalo; se então é decrescente. - Preciso, portanto, calcular
e analisar o sinal dela em cada parte do domínio. Vou explicar cada passo do cálculo da derivada.
Passo 3
Cálculo da derivada (passo a passo, com explicação das regras usadas):
- A função é uma composição
com . A derivada da exponencial segue a regra da cadeia: a derivada de é . - Agora calcule
para . Como , derivando obtemos
- Aplicando a regra da cadeia:
- Podemos escrever de forma mais limpa:
Passo 4
Análise do sinal de
(explicação detalhada):
- Para todo
temos (a exponencial é sempre positiva) e . - Logo o quociente
é sempre estritamente positivo para . - Como há um sinal negativo na frente, concluímos que, para todo
,
- Isso significa que a derivada é negativa em toda a parte do domínio: em
e em .
Passo 5
Conclusão sobre monotonicidade (como usar a informação do passo anterior na prova):
- Se
em um intervalo, então é estritamente decrescente nesse intervalo. Aqui é negativa em todo o domínio (exceto em , que não pertence ao domínio), portanto é estritamente decrescente em ambos os ramos do domínio. - Não há nenhum subintervalo onde
, portanto não existe intervalo de crescimento no domínio.
Passo 6
Observações finais que ajudam a entender o comportamento (intuição útil para a prova):
- Para visualizar: em
temos então . Em temos então . Em temos então . - Essas observações não mudam a monotonicidade, mas dão intuição sobre por que o ramo à direita de zero decresce de
para e o ramo à esquerda decresce de para . - Força aí: em prova, calcule a derivada, simplifique e analise sinais — funciona quase sempre para questões de crescimento/decrescimento.
Resposta
Intervalos de crescimento: nenhum
Intervalos de decrescimento: e
Intervalos de decrescimento: