Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
g(x)=1+1 / x.
g(x)=1+1 / x.
Passo 1
O enunciado pede: estudar a função com relação à concavidade e pontos de inflexão da função
Informações relevantes dadas/implícitas:
- A expressão da função é
. - O domínio implícito é todos os
tais que (porque não está definida em ). - Precisamos determinar em quais intervalos a função é côncava para cima (concavidade positiva) ou para baixo (concavidade negativa) e identificar pontos de inflexão, se houver.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
. Vou te lembrar a regra que usamos: a regra da potência diz que, para qualquer número real
,
Aqui temos
. Aplicando a regra da potência ao termo
:
Como a derivada de
é
, obtemos
Comentário didático:
nos dá a inclinação da função; repara que
para todo
, ou seja, a função é decrescente em cada intervalo do domínio.
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
, que é a derivada de
. Aplicando novamente a regra da potência:
Portanto
A segunda derivada é a chave para estudar concavidade: ela determina o sinal (positivo → concavidade para cima; negativo → concavidade para baixo).
Passo 4
Estudando o sinal de
:
- O numerador
é positivo e constante. - O sinal de
é determinado pelo sinal de . - Se
então e, como , temos . - Se
então e, portanto, .
Conclusão sobre concavidade:
- Em
: , logo é côncava para cima (concavidade positiva). - Em
: , logo é côncava para baixo (concavidade negativa).
Didática extra: uma forma prática é fazer um pequeno quadro de sinais para
e
. Como
tem o mesmo sinal de
, não há surpresas — positivo à direita de zero, negativo à esquerda.
Passo 5
Agora vamos procurar pontos de inflexão. Lembre a definição prática de ponto de inflexão: é um ponto
do domínio da função tal que a concavidade muda ao atravessá-lo (isto é,
troca de sinal) e a função é definida em
.
Os lugares onde a segunda derivada pode permitir ponto de inflexão são:
- onde
; - ou onde
é indefinida (mas o ponto precisa estar no domínio da função e a concavidade precisa realmente mudar).
Verificações:
- Resolver
dá . Isso não tem solução (uma fração com numerador não é zero), logo não há zeros de . -
é indefinida em . Contudo, não pertence ao domínio de (porque não está definida em ). Portanto não pode ser considerado ponto de inflexão da função — um ponto de inflexão tem de ser um ponto onde a função existe.
Observação interpretativa: apesar de a concavidade mudar de negativa (à esquerda) para positiva (à direita) ao atravessar
, não podemos chamá-lo de ponto de inflexão porque a própria função não existe em
. Um exemplo contrastante (para fixar a ideia): a função
tem
que se anula em
e muda de sinal aí, e
está definida em
; por isso
é ponto de inflexão de
.
Passo 6
Conclusão lógica final: a função tem concavidade oposta nos dois ramos do domínio e não possui pontos de inflexão no seu domínio porque o único lugar onde a concavidade mudaria (
) não pertence ao domínio da função.
Resposta
Concava para baixo em
.
Concava para cima em .
Não há pontos de inflexão.
Concava para cima em
Não há pontos de inflexão.