Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
g(x)=1+1 / x.

Passo 1

O enunciado pede: estudar a função com relação à concavidade e pontos de inflexão da função
g(x)=1+\frac{1}{x}.
Informações relevantes dadas/implícitas:
  • A expressão da função é \;g(x)=1+x^{-1}\;.
  • O domínio implícito é todos os x tais que x\neq 0 (porque \frac{1}{x} não está definida em x=0).
  • Precisamos determinar em quais intervalos a função é côncava para cima (concavidade positiva) ou para baixo (concavidade negativa) e identificar pontos de inflexão, se houver.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada \;g'(x)\;. Vou te lembrar a regra que usamos: a regra da potência diz que, para qualquer número real n,
\frac{d}{dx} x^{n} = n x^{n-1}.
Aqui temos \;g(x)=1+x^{-1}. Aplicando a regra da potência ao termo x^{-1}:
\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right) = -1\cdot x^{-2} = -x^{-2}.
Como a derivada de 1 é 0, obtemos
g'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
Comentário didático: \;g'(x)\; nos dá a inclinação da função; repara que \;-\frac{1}{x^{2}}\le 0 para todo x\neq 0, ou seja, a função é decrescente em cada intervalo do domínio.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada \;g''(x)\;, que é a derivada de \;g'(x)=-x^{-2}\;. Aplicando novamente a regra da potência:
\frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right) = -(-2)\,x^{-3} = 2x^{-3}.
Portanto
g''(x) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^{3}}.
A segunda derivada é a chave para estudar concavidade: ela determina o sinal (positivo → concavidade para cima; negativo → concavidade para baixo).

Passo 4

Estudando o sinal de \;g''(x)=\dfrac{2}{x^{3}}\;:
  • O numerador 2 é positivo e constante.
  • O sinal de \;g''(x)\; é determinado pelo sinal de x^{3}.
  • Se x>0 então x^{3}>0 e, como 2>0, temos \;g''(x)>0.
  • Se x<0 então x^{3}<0 e, portanto, \;g''(x)<0.
Conclusão sobre concavidade:
  • Em (0,\infty): \;g''(x)>0, logo g é côncava para cima (concavidade positiva).
  • Em (-\infty,0): \;g''(x)<0, logo g é côncava para baixo (concavidade negativa).
Didática extra: uma forma prática é fazer um pequeno quadro de sinais para \;x e \;x^{3}. Como x^{3} tem o mesmo sinal de x, não há surpresas — positivo à direita de zero, negativo à esquerda.

Passo 5

Agora vamos procurar pontos de inflexão. Lembre a definição prática de ponto de inflexão: é um ponto x_0 do domínio da função tal que a concavidade muda ao atravessá-lo (isto é, \;g'' troca de sinal) e a função é definida em x_0.
Os lugares onde a segunda derivada pode permitir ponto de inflexão são:
  • onde \;g''(x)=0;
  • ou onde \;g''(x) é indefinida (mas o ponto precisa estar no domínio da função e a concavidade precisa realmente mudar).
Verificações:
  • Resolver \;g''(x)=0 \;\dfrac{2}{x^{3}}=0. Isso não tem solução (uma fração com numerador 2 não é zero), logo não há zeros de \;g''.
  • \;g''(x) é indefinida em x=0. Contudo, x=0 não pertence ao domínio de g (porque g não está definida em 0). Portanto x=0 não pode ser considerado ponto de inflexão da função — um ponto de inflexão tem de ser um ponto onde a função existe.
Observação interpretativa: apesar de a concavidade mudar de negativa (à esquerda) para positiva (à direita) ao atravessar x=0, não podemos chamá-lo de ponto de inflexão porque a própria função não existe em x=0. Um exemplo contrastante (para fixar a ideia): a função h(x)=x^{3} tem h''(x)=6x que se anula em x=0 e muda de sinal aí, e h está definida em 0; por isso 0 é ponto de inflexão de h.

Passo 6

Conclusão lógica final: a função tem concavidade oposta nos dois ramos do domínio e não possui pontos de inflexão no seu domínio porque o único lugar onde a concavidade mudaria ( x=0) não pertence ao domínio da função.

Resposta

Concava para baixo em (-\infty,0).
Concava para cima em (0,\infty).
Não há pontos de inflexão.

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