Encontre a distância do ponto (1,-2) à reta do plano x O y que tem equação geral dada por 3 x-2 y=0.
Mostre que o segmento de reta ligando os pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer é paralelo ao terceiro lado e tem a metade do comprimento deste.
Passo 1
O exercício tem duas partes. Na primeira, queremos calcular a distância do ponto (1,-2) à reta de equação
3x - 2y = 0
no plano xy, usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta. Na segunda parte, precisamos provar o teorema do segmento médio em um triângulo qualquer: o segmento que liga os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e mede a metade deste.
Passo 2
Para a primeira parte, lembramos que, se uma reta for dada por
Ax + By + C = 0
e o ponto for (x_0,y_0), então a distância d do ponto à reta é
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.
Passo 3
Na reta 3x - 2y = 0 temos A=3, B=-2, C=0. Para o ponto (x_0,y_0) = (1,-2),
Concluímos, portanto, que a distância do ponto (1,-2) à reta 3x-2y=0 é
\frac{7}{\sqrt{13}}.
Passo 5
Agora, para provar o teorema do segmento médio, considere um triângulo ABC no plano e seja M o ponto médio de AB e N o ponto médio de AC. Vamos usar coordenadas vetoriais.
Passo 6
Chamando \vec A,\vec B,\vec C os vetores de posição de A,B,C, temos \vec M = \frac{\vec A + \vec B}{2} e \vec N = \frac{\vec A + \vec C}{2}.
Então o vetor que vai de M a N é
\overrightarrow{MN} = \vec N - \vec M = \frac{\vec A + \vec C}{2} - \frac{\vec A + \vec B}{2} = \frac{\vec C - \vec B}{2} = \frac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}.
Passo 7
Como \overrightarrow{MN} é múltiplo escalar de \overrightarrow{BC}, segue que MN é paralelo a BC, e como o fator escalar é \tfrac12, temos também \bigl|MN\bigr| = \tfrac12\,\bigl|BC\bigr|.
Resposta
\displaystyle \frac{7}{\sqrt{13}} No triângulo ABC, se M e N são os pontos médios de AB e AC, então
MN \,\parallel\, BC \quad\text{e}\quad |MN| = \tfrac12\,|BC|.