Três campos vetoriais são dados por P=2 x-z ; Q=2 x-y+2 z e
R=2 x-3 y+z. Determine:
A componente vetorial P ao longo de Q.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos três campos vetoriais, mas a única coisa que precisamos pra este item é:
P = 2 x̂ − ẑ
Q = 2 x̂ − ŷ + 2 ẑ
O enunciado quer “a componente vetorial de P ao longo de Q”, ou seja, a projeção de P em Q.
Conteúdo: produto escalar, módulo de vetor e projeção de um vetor em outro.

Passo 2

Antes de projetar, precisamos do produto escalar P·Q.
Lembra que, se P = (Pₓ, Pᵧ, P_z) e Q = (Qₓ, Qᵧ, Q_z),
Pcdot Q = PₓQₓ + PᵧQᵧ + PzQz
Aqui P = (2,0,−1) e Q = (2,−1,2), então
Pcdot Q = 2cdot2 + 0cdot(-1) + (-1)cdot2 = 4 + 0 -2 = 2

Passo 3

Agora precisamos do quadrado do módulo de Q, |Q|².
|Q|^2 = Qₓ^2 + Qᵧ^2 + Qz^2 = 2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 4 +1 +4 = 9

Passo 4

A projeção de P sobre Q (vamos chamar de proj₍Q₎P) é dada por
projQ P = Pcdot Q|Q|^2;Q
Já temos P·Q = 2 e |Q|² = 9, logo o “fator escalar” vale 2/9.

Passo 5

Basta multiplicar Q por 2/9:
projQ P = 29,(2,hat x - hat y + 2,hat z) = 49,hat x - 29,hat y + 49,hat z

Resposta

boxedComponente de vec P ao longo de vec Q =29,(2,hat x - hat y + 2,hat z) =49,hat x - 29,hat y + 49,hat z

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