Encontre o divergente do vetor
Encontre também o rotacional.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas: (1) o divergente de
e (2) o rotacional (curl) de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
onde
são as componentes de
nas direções
respectivamente. Não há outras condições (domínio, singularidades), portanto trabalhamos com derivadas parciais usuais.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas que usamos (aula rápida e prática):
A divergência de um campo vetorial
é definida por
Aqui a ideia é: pego a derivada parcial da componente na direção
em relação a
, somo com a derivada parcial da componente na direção
em relação a
, e assim por diante. Cada derivada parcial mede quanto aquela componente “expande” ao longo de sua direção.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais necessárias para a divergência. Lembre-se: ao derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes.
Derivo
em relação a
:
(Observação:
é tratado como constante quando derivamos em
, então dá
.)
Derivo
em relação a
:
(Aqui
é constante em relação a
.)
Derivo
em relação a
:
(Aqui
é constante em relação a
.)
Passo 4
Agora somo as três derivadas parciais para obter a divergência:
Isso é o resultado do primeiro pedido. Intuitivamente, cada termo quadrático produz contribuição dupla na sua própria direção, e os termos mistos
não contribuem para a divergência porque aparecem em componentes diferentes e, ao derivar pela variável “própria”, são constantes.
Passo 5
Agora o rotacional. A definição (componentes) do rotacional de
é
Aqui cada componente do rotacional é a diferença entre duas derivadas parciais cruzadas — isso mede a tendência do campo “rotacionar” em torno dos eixos.
Passo 6
Calculo todas as derivadas parciais mistas que aparecem no rotacional (novamente tratando variáveis não envolvidas como constantes):
portanto a componente em
é
Próximo par:
portanto a componente em
é
Último par:
portanto a componente em
é
Passo 7
Juntando os três componentes vemos que o rotacional é o vetor nulo:
Interpretando: os termos mistos foram organizados de forma simétrica e as derivadas parciais cruzadas cancelaram-se, deixando nenhuma “rotação” local do campo — só expansão (divergência) que encontramos antes.
Força aí — você fez tudo certo até aqui! Isso é exatamente o tipo de conta que costuma cair em prova: derivadas parciais diretas e atenção à simetria dos termos.