\nabla \times \mathbf{F} será necessariamente perpendicular a \mathbf{F} para toda função vetorial \mathbf{F} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se \nabla\times\mathbf{F} será necessariamente perpendicular a \mathbf{F} para toda função vetorial \mathbf{F}.
Informações dadas: temos uma função vetorial arbitrária \mathbf{F} (sem hipóteses adicionais). A pergunta exige uma justificativa (ou seja, provar que é sempre verdade ou fornecer contraexemplo).

Passo 2

O que significa “perpendicular” aqui? Significa que o produto escalar entre os dois vetores é zero. Ou seja, a afirmação equivale a
\mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0
para toda \mathbf{F}. Vou explicar o que é cada termo:
\nabla\times\mathbf{F}=\Big(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big),
onde \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3). Geometricamente, \nabla\times\mathbf{F} mede a rotação local do campo; o produto escalar com \mathbf{F} pega a componente dessa rotação na direção de \mathbf{F}. Para que \nabla\times\mathbf{F} seja “necessariamente” perpendicular a \mathbf{F} precisaríamos que a identidade \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0 fosse verdadeira para qualquer escolha de \mathbf{F}.

Passo 3

Estratégia: em vez de tentar provar uma identidade geral (que pode ou não ser verdadeira), é mais direto testar a identidade com um contraexemplo concreto. Se eu encontrar um campo \mathbf{F} tal que \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{F})\not\equiv0, então a afirmação é falsa.

Passo 4

Escolho o campo simples
\mathbf{F}(x,y,z)=(-y,\;0,\;x).
Vou calcular \nabla\times\mathbf{F} componente a componente usando a fórmula do Passo 2.
Primeira componente:
(\nabla\times\mathbf{F})_1=\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} =\frac{\partial x}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z}=0-0=0.
Segunda componente:
(\nabla\times\mathbf{F})_2=\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} =\frac{\partial (-y)}{\partial z}-\frac{\partial x}{\partial x}=0-1=-1.
Terceira componente:
(\nabla\times\mathbf{F})_3=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (-y)}{\partial y}=0-(-1)=1.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=(0,\,-1,\,1).

Passo 5

Agora calculo o produto escalar \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{F}):
\mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = (-y)\cdot 0 + 0\cdot(-1) + x\cdot 1 = x.
Esse resultado não é a função zero (é x), logo não é verdade que o produto escalar seja sempre zero para todo \mathbf{F}. Assim \nabla\times\mathbf{F} não é necessariamente perpendicular a \mathbf{F} em geral.
Observação didática rápida: há casos particulares em que \nabla\times\mathbf{F} é perpendicular a \mathbf{F} — por exemplo se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} (campo irrotacional) ou se por construção \mathbf{F} for ortogonal ao seu próprio curl — mas isso não vale para todo campo vetorial arbitrário.

Resposta

Não. Por exemplo, para \mathbf{F}=(-y,0,x) temos \nabla\times\mathbf{F}=(0,-1,1) e \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=x, que não é identicamente zero.

Exercícios relacionados