será necessariamente perpendicular a
para toda função vetorial
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se
será necessariamente perpendicular a
para toda função vetorial
.
Informações dadas: temos uma função vetorial arbitrária (sem hipóteses adicionais). A pergunta exige uma justificativa (ou seja, provar que é sempre verdade ou fornecer contraexemplo).
Informações dadas: temos uma função vetorial arbitrária
Passo 2
O que significa “perpendicular” aqui? Significa que o produto escalar entre os dois vetores é zero. Ou seja, a afirmação equivale a
para toda
. Vou explicar o que é cada termo:
onde
. Geometricamente,
mede a rotação local do campo; o produto escalar com
pega a componente dessa rotação na direção de
. Para que
seja “necessariamente” perpendicular a
precisaríamos que a identidade
fosse verdadeira para qualquer escolha de
.
Passo 3
Estratégia: em vez de tentar provar uma identidade geral (que pode ou não ser verdadeira), é mais direto testar a identidade com um contraexemplo concreto. Se eu encontrar um campo
tal que
, então a afirmação é falsa.
Passo 4
Escolho o campo simples
Vou calcular
componente a componente usando a fórmula do Passo 2.
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto
Passo 5
Agora calculo o produto escalar
:
Esse resultado não é a função zero (é
), logo não é verdade que o produto escalar seja sempre zero para todo
. Assim
não é necessariamente perpendicular a
em geral.
Observação didática rápida: há casos particulares em que
é perpendicular a
— por exemplo se
(campo irrotacional) ou se por construção
for ortogonal ao seu próprio curl — mas isso não vale para todo campo vetorial arbitrário.
Resposta
Não. Por exemplo, para
temos
e
, que não é identicamente zero.