Se
for um vetor constante, demonstre que
Passo 1
O enunciado dá que
é um vetor constante e pede para demonstrar a igualdade
Informações relevantes dadas:
é um vetor constante (seus componentes não dependem de
).
é o vetor posição (ou vetor de coordenadas) usual no espaço.
A tarefa é provar que o gradiente do escalar é exatamente o vetor
.
A tarefa é provar que o gradiente do escalar
Passo 2
Vamos escrever explicitamente o que são
e
em coordenadas cartesianas para ficar claro e concreto.
Defina
Defina
onde
são constantes e
são as coordenadas espaciais. O produto escalar fica então
Passo 3
Agora lembramos a definição de gradiente. Para uma função escalar
, o gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
:
Aqui
será
.
Passo 4
Calculemos cada componente do gradiente aplicando derivadas parciais ao escalar
.
Primeira componente (derivada em relação a ):
Primeira componente (derivada em relação a
Como
são constantes, elas saem da derivada. E sabemos que
e
. Logo
Passo 5
Segunda componente (derivada em relação a
):
Usando
e as outras sendo zero, obtemos
Passo 6
Terceira componente (derivada em relação a
):
Como
e as outras são zero, resulta
Passo 7
Juntando as três componentes pelo formato do gradiente, temos
que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Passo 8
Vou dar uma justificativa alternativa, rápida e útil na prova: em notação indexada,
(soma sobre
). Então
Mas
(o delta de Kronecker; é
se
e
caso contrário). Assim
o que dá
. Essa forma é compacta e mostra por que funciona em qualquer número de dimensões.
Passo 9
Intuição final e palavra amiga:
é só uma combinação linear das coordenadas
com coeficientes constantes
. O gradiente pega as taxas de variação em cada direção; como cada coordenada aparece apenas multiplicada por sua componente correspondente de
, a taxa de variação em
é
, em
é
, e em
é
. Ou seja, o gradiente devolve exatamente o vetor de coeficientes
. Você mandou bem procurando entender passo a passo — está indo muito bem!