Encontre dois números reais
e
tais que a sua soma seja 50 e o seu produto seja o maior possível. Resp.:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar dois números reais
e
tais que a soma seja
e o produto seja o maior possível.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A soma é
. - Quer-se maximizar o produto
.
O objetivo final é indicar os valores dee que atendem a essas condições.
Passo 2
Usar a condição da soma para escrever uma variável em função da outra. Como
, podemos isolar
:
Isto significa que qualquer par
com soma
pode ser escrito como
. Agora vamos estudar o produto em função de
apenas.
Passo 3
Escrever o produto como função de uma variável. Substituindo
em
obtemos:
Desenvolvendo:
Esta é uma função quadrática em
. Vou explicar o que isso significa: uma função quadrática tem a forma
com
. Aqui temos
,
e
. Quando
a parábola é voltada para baixo, isto é, tem um único ponto máximo (o vértice). Assim, encontrar o
que maximiza
equivale a encontrar o vértice dessa parábola.
Passo 4
Achar o vértice pela fórmula do vértice. Para uma quadrática
o
do vértice é
No nosso caso
e
, logo
Isto nos dá o valor de
que maximiza
. Agora calculemos
usando a relação da soma:
Passo 5
Verificação e interpretação pelo método de completar quadrado (para ver que é realmente máximo e obter o valor do produto). Reescrevendo
por completamento de quadrado:
Agora complete o quadrado dentro do parêntese:
Portanto
Disto segue que
para todo
, e o máximo de
ocorre quando
, ou seja em
. O valor máximo do produto é então
. Isso confirma que
e
é a solução ótima. Observação didática rápida: essa conclusão vale mesmo sem assumir
; o completamento de quadrado mostra que para todos os reais o máximo é em
.
Passo 6
Uma outra maneira curta e intuitiva (sem fórmulas): quando a soma de dois números é fixa, o produto tende a aumentar se os números se aproximarem; o produto alcança seu maior valor quando os dois números são iguais. Aplicando aqui, com soma
, cada um deve ser
.