Encontre dois números reais x e y tais que a sua soma seja 50 e o seu produto seja o maior possível. Resp.: x=25=y

Passo 1

O enunciado pede: encontrar dois números reais x e y tais que a soma seja 50 e o produto seja o maior possível.
Informações dadas:
  • A soma é \,x+y=50.
  • Quer-se maximizar o produto \,P=xy.
    O objetivo final é indicar os valores de x e y que atendem a essas condições.

Passo 2

Usar a condição da soma para escrever uma variável em função da outra. Como \,x+y=50, podemos isolar y:
y=50-x.
Isto significa que qualquer par (x,y) com soma 50 pode ser escrito como (x,\,50-x). Agora vamos estudar o produto em função de x apenas.

Passo 3

Escrever o produto como função de uma variável. Substituindo y em P=xy obtemos:
P(x)=x(50-x).
Desenvolvendo:
P(x) = -x^2 + 50x.
Esta é uma função quadrática em x. Vou explicar o que isso significa: uma função quadrática tem a forma \,ax^2+bx+c com a\neq0. Aqui temos a=-1, b=50 e c=0. Quando a<0 a parábola é voltada para baixo, isto é, tem um único ponto máximo (o vértice). Assim, encontrar o x que maximiza P(x) equivale a encontrar o vértice dessa parábola.

Passo 4

Achar o vértice pela fórmula do vértice. Para uma quadrática \,ax^2+bx+c o x do vértice é
x_v = -\frac{b}{2a}.
No nosso caso a=-1 e b=50, logo
x_v = -\frac{50}{2(-1)} = 25.
Isto nos dá o valor de x que maximiza P. Agora calculemos y usando a relação da soma:
y=50-x_v=50-25=25.

Passo 5

Verificação e interpretação pelo método de completar quadrado (para ver que é realmente máximo e obter o valor do produto). Reescrevendo P(x) por completamento de quadrado:
P(x) = -x^2+50x = -\bigl(x^2-50x\bigr).
Agora complete o quadrado dentro do parêntese:
x^2-50x = (x-25)^2 - 625.
Portanto
P(x) = -\bigl((x-25)^2 - 625\bigr) = - (x-25)^2 + 625.
Disto segue que -(x-25)^2\le 0 para todo x, e o máximo de P(x) ocorre quando (x-25)^2=0, ou seja em x=25. O valor máximo do produto é então P_{\max}=625. Isso confirma que x=25 e y=25 é a solução ótima. Observação didática rápida: essa conclusão vale mesmo sem assumir x,y\ge0; o completamento de quadrado mostra que para todos os reais o máximo é em x=25.

Passo 6

Uma outra maneira curta e intuitiva (sem fórmulas): quando a soma de dois números é fixa, o produto tende a aumentar se os números se aproximarem; o produto alcança seu maior valor quando os dois números são iguais. Aplicando aqui, com soma 50, cada um deve ser 25.

Resposta

x=25
y=25

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