Esboce o gráfico das seguintes funções.
f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}}.
Informações dadas explicitamente:
  • A expressão algébrica de f é \dfrac{x^{2}-x+1}{x^{2}}.
    O que é pedido:
  • Fazer um esboço do gráfico, ou seja, identificar domínio, assíntotas, monotonia, extremos, concavidade, pontos importantes e descrever como a curva se comporta para que se possa desenhá-la.

Passo 2

Domínio. Explico o que é e como achar: o domínio são os valores de x para os quais a expressão está definida; aqui a divisão por zero não é permitida. O denominador é x^{2}, então devemos ter x^{2}\neq0, isto é x\neq0. Portanto o domínio é
(-\infty,0)\cup(0,\infty).

Passo 3

Reescrever a função de forma útil. Para estudar comportamento assintótico e derivadas, é prático escrever em potências:
f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}}=1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=1-x^{-1}+x^{-2}.
Comentário: essa forma deixa claro os termos dominantes quando x é grande ou quando x é pequeno.

Passo 4

Assíntotas verticais e comportamento em x\to0^\pm. Como x=0 está fora do domínio, pode haver assíntota vertical em x=0. Vamos calcular os limites laterais:
\lim_{x\to0^{\pm}}f(x)=\lim_{x\to0^{\pm}}\left(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right).
Quando x\to0, o termo \dfrac{1}{x^{2}} domina e é sempre positivo e cresce para +\infty. Logo
\lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^{-}}f(x)=+\infty.
Portanto existe uma assíntota vertical em x=0 e ambos os ramos vão para +\infty ao se aproximarem de 0.

Passo 5

Assíntota horizontal em infinito. Para x\to\pm\infty podemos ver a tendência usando a forma 1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}. Como os dois últimos termos tendem a zero, tem-se
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1.
Logo há uma assíntota horizontal y=1. Observação sobre o lado de aproximação: para x\to+\infty temos f(x)-1\approx -\dfrac{1}{x}<0, então a aproximação é por baixo (vem de valores menores que 1); para x\to-\infty temos f(x)-1\approx -\dfrac{1}{x}>0, então aproxima por cima.

Passo 6

Zeros e interseções com os eixos. Para achar zeros de f (interseções com o eixo x) basta ver quando o numerador zera:
x^{2}-x+1=0.
O discriminante é \Delta=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0. Portanto não há raízes reais: f(x)\neq0 para todo x no domínio. Interseção com o eixo y exigiria x=0, que não pertence ao domínio; logo não há intercepto em y (não existe f(0)).

Passo 7

Derivada, monotonia e extremo. Vou calcular a derivada passo a passo usando a forma em potências:
f(x)=1-x^{-1}+x^{-2}.
Derivando termo a termo:
f'(x)=0 + x^{-2}-2x^{-3}=\frac{x-2}{x^{3}}.
Críticos: f'(x)=0 quando x-2=0\Rightarrow x=2. Também x=0 faz f' não definida, mas x=0 está fora do domínio. Agora faço análise de sinal de f':
  • Para x<0: numerador x-2<0, denominador x^{3}<0 \Rightarrow f'(x)>0. Logo f é crescente em (-\infty,0).
  • Para 0<x<2: numerador x-2<0, denominador x^{3}>0 \Rightarrow f'(x)<0. Logo f é decrescente em (0,2).
  • Para x>2: numerador x-2>0, denominador x^{3}>0 \Rightarrow f'(x)>0. Logo f é crescente em (2,\infty).
Conclusão: em x=2 há um mínimo local. Valor em x=2:
f(2)=\frac{2^{2}-2+1}{2^{2}}=\frac{3}{4}=0{,}75.

Passo 8

Segunda derivada, concavidade e ponto de inflexão. Derivando f'(x)=x^{-2}-2x^{-3}:
f''(x)=-2x^{-3}+6x^{-4}=\frac{6-2x}{x^{4}}=\frac{2(3-x)}{x^{4}}.
Análise:
  • f''(x)=0 quando x=3 (ponto de inflexão candidato).
  • Como x^{4}>0 para todo x\neq0, o sinal de f'' é o sinal de 3-x. Portanto:
    • Para x<3 (e x\neq0) tem-se f''(x)>0 → concavidade para cima.
    • Para x>3 tem-se f''(x)<0 → concavidade para baixo.
      Assim há um ponto de inflexão em x=3. Valor:
f(3)=\frac{9-3+1}{9}=\frac{7}{9}\approx0{,}777\ldots

Passo 9

Pontos auxiliares para desenhar e comportamento geral. Cálculos rápidos de pontos simples:
f(1)=\frac{1-1+1}{1}=1.
f(-1)=\frac{1+1+1}{1}=3.
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=1-\!2+\!4=3.
Resumindo comportamento:
  • Ramo à esquerda ( x<0): quando x\to0^{-} temos f\to+\infty; a partir daí a função decresce ou cresce? Pela monotonia vimos que é crescente em (-\infty,0). Então, vindo de -\infty a 0^{-}, a curva vem do valor y=1 (por cima) quando x\to-\infty, é sempre positiva, passa por (-1,3) e sobe para +\infty quando se aproxima de 0^{-}. A concavidade é para cima em todo esse ramo.
  • Ramo à direita ( x>0): quando x\to0^{+} temos f\to+\infty; em (0,2) é decrescente, atinge mínimo local em (2,3/4), depois cresce para y=1 quando x\to+\infty aproximando-se por baixo. Há ponto de inflexão em (3,7/9) onde a concavidade muda de cima para baixo.

Passo 10

Como esboçar na prática (passos para desenhar à mão, sem calculadora):
  1. Trace a assíntota vertical x=0 e a horizontal y=1 como guias.
  2. Desenhe o ramo esquerdo: começando em x\to-\infty aproximando y=1 por cima, passar por (-1,3), curvar para cima e subir para +\infty ao chegar em x=0^{-}.
  3. Desenhe o ramo direito: para x\to0^{+} a curva vem de +\infty; desce passando por pontos como \bigl(\tfrac{1}{2},3\bigr) e (1,1), atinge mínimo em (2,3/4), tem inflexão em (3,7/9) e depois sobe suavemente aproximando-se de y=1 por baixo quando x\to+\infty.
  4. Não há corte com o eixo x (nenhum zero), nem ponto em x=0.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty).
Assíntota vertical: x=0 com \lim_{x\to0^\pm}f(x)=+\infty.
Assíntota horizontal: y=1 com \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1 (aproxima por baixo quando x\to+\infty e por cima quando x\to-\infty).
Zeros: nenhum (numerador sem raízes reais).
Monotonia: crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,2), crescente em (2,\infty).
Extremo: mínimo local em (2,\tfrac{3}{4}).
Concavidade: concava para cima em (-\infty,0)\cup(0,3), concava para baixo em (3,\infty).
Ponto de inflexão: (3,\tfrac{7}{9}).
Pontos úteis: f(-1)=3, f(\tfrac{1}{2})=3, f(1)=1, f(2)=\tfrac{3}{4}.

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