Esboce o gráfico das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
Informações dadas explicitamente:
- A expressão algébrica de
é .
O que é pedido: - Fazer um esboço do gráfico, ou seja, identificar domínio, assíntotas, monotonia, extremos, concavidade, pontos importantes e descrever como a curva se comporta para que se possa desenhá-la.
Passo 2
Domínio. Explico o que é e como achar: o domínio são os valores de
para os quais a expressão está definida; aqui a divisão por zero não é permitida. O denominador é
, então devemos ter
, isto é
. Portanto o domínio é
Passo 3
Reescrever a função de forma útil. Para estudar comportamento assintótico e derivadas, é prático escrever em potências:
Comentário: essa forma deixa claro os termos dominantes quando
é grande ou quando
é pequeno.
Passo 4
Assíntotas verticais e comportamento em
. Como
está fora do domínio, pode haver assíntota vertical em
. Vamos calcular os limites laterais:
Quando
, o termo
domina e é sempre positivo e cresce para
. Logo
Portanto existe uma assíntota vertical em
e ambos os ramos vão para
ao se aproximarem de
.
Passo 5
Assíntota horizontal em infinito. Para
podemos ver a tendência usando a forma
. Como os dois últimos termos tendem a zero, tem-se
Logo há uma assíntota horizontal
. Observação sobre o lado de aproximação: para
temos
, então a aproximação é por baixo (vem de valores menores que
); para
temos
, então aproxima por cima.
Passo 6
Zeros e interseções com os eixos. Para achar zeros de
(interseções com o eixo
) basta ver quando o numerador zera:
O discriminante é
. Portanto não há raízes reais:
para todo
no domínio. Interseção com o eixo
exigiria
, que não pertence ao domínio; logo não há intercepto em
(não existe
).
Passo 7
Derivada, monotonia e extremo. Vou calcular a derivada passo a passo usando a forma em potências:
Derivando termo a termo:
Críticos:
quando
. Também
faz
não definida, mas
está fora do domínio. Agora faço análise de sinal de
:
- Para
: numerador , denominador . Logo é crescente em . - Para
: numerador , denominador . Logo é decrescente em . - Para
: numerador , denominador . Logo é crescente em .
Conclusão: em
há um mínimo local. Valor em
:
Passo 8
Segunda derivada, concavidade e ponto de inflexão. Derivando
:
Análise:
-
quando (ponto de inflexão candidato). - Como
para todo , o sinal de é o sinal de . Portanto: - Para
(e ) tem-se → concavidade para cima. - Para
tem-se → concavidade para baixo.
Assim há um ponto de inflexão em. Valor:
- Para
Passo 9
Pontos auxiliares para desenhar e comportamento geral. Cálculos rápidos de pontos simples:
Resumindo comportamento:
- Ramo à esquerda (
): quando temos ; a partir daí a função decresce ou cresce? Pela monotonia vimos que é crescente em . Então, vindo de a , a curva vem do valor (por cima) quando , é sempre positiva, passa por e sobe para quando se aproxima de . A concavidade é para cima em todo esse ramo. - Ramo à direita (
): quando temos ; em é decrescente, atinge mínimo local em , depois cresce para quando aproximando-se por baixo. Há ponto de inflexão em onde a concavidade muda de cima para baixo.
Passo 10
Como esboçar na prática (passos para desenhar à mão, sem calculadora):
- Trace a assíntota vertical
e a horizontal como guias. - Desenhe o ramo esquerdo: começando em
aproximando por cima, passar por , curvar para cima e subir para ao chegar em . - Desenhe o ramo direito: para
a curva vem de ; desce passando por pontos como e , atinge mínimo em , tem inflexão em e depois sobe suavemente aproximando-se de por baixo quando . - Não há corte com o eixo
(nenhum zero), nem ponto em .
Resposta
Domínio:
.
Assíntota vertical: com
.
Assíntota horizontal: com
(aproxima por baixo quando
e por cima quando
).
Zeros: nenhum (numerador sem raízes reais).
Monotonia: crescente em , decrescente em
, crescente em
.
Extremo: mínimo local em .
Concavidade: concava para cima em , concava para baixo em
.
Ponto de inflexão: .
Pontos úteis: ,
,
,
.
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Zeros: nenhum (numerador sem raízes reais).
Monotonia: crescente em
Extremo: mínimo local em
Concavidade: concava para cima em
Ponto de inflexão:
Pontos úteis: