Esboce o gráfico das seguintes funções.
\frac{1}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Informações dadas (apenas o que consta no enunciado):
  • A fórmula da função é \displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
  • Não há outras figuras ou dados numéricos fornecidos.

Passo 2

Domínio e positividade (o que a função permite e sinal):
  • O denominador é 1+x^{2}. Como x^{2}\ge0 para todo x\in\mathbb{R}, tem-se 1+x^{2}\ge1>0. Portanto o denominador nunca é zero.
  • Conclusão: o domínio é \mathbb{R} (todos os reais).
  • Também disso segue que f(x)>0 para todo x. A função nunca toma valores negativos nem chega a zero (mas pode se aproximar de zero).

Passo 3

Interceptos e valor em 0:
  • Valor em zero: f(0)=\dfrac{1}{1+0^{2}}=1. Então o gráfico passa por (0,1).
  • Interseção com o eixo x: não existe, pois f(x)>0 para todo x (logo não corta o eixo x).
  • Interseção com o eixo y: é o ponto (0,1) (já visto).
  • Simetria: verificar f(-x)=\dfrac{1}{1+(-x)^{2}}=\dfrac{1}{1+x^{2}}=f(x). Então f é uma função par — simétrica em relação ao eixo y.

Passo 4

Limites e assíntotas:
  • Limite quando x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{1+x^{2}}=0.
Isto significa que y=0 é uma assíntota horizontal; o gráfico se aproxima de y=0 quando |x| cresce.
  • Não há assíntotas verticais porque o denominador nunca se anula.

Passo 5

Derivada primeira — monotonicidade e extremos:
  • Vou calcular a derivada usando a forma f(x)=(1+x^{2})^{-1}. Pela regra da cadeia:
f'(x) = -1\cdot(1+x^{2})^{-2}\cdot(2x) = -\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Explicando: derivou-se a potência (\cdot)^{-1} trazendo -1 vezes a função interna elevada a -2, e depois multiplicou pela derivada de 1+x^{2}, que é 2x.
  • Sinal de f'(x):
    • Para x>0: f'(x)<0 (negativo), então a função é decrescente em (0,\infty).
    • Para x<0: f'(x)>0 (positivo), então a função é crescente em (-\infty,0).
    • Em x=0: f'(0)=0.
  • Conclusão: x=0 é um ponto crítico e, pelo comportamento da derivada (muda de positivo para negativo), é um máximo local. Como a função é par, esse é o máximo global.
  • Valor do máximo: f(0)=1. Assim o gráfico tem uma “cúpula” máxima em (0,1).

Passo 6

Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão:
  • Calculemos f''(x). Partindo de f'(x)=-2x(1+x^{2})^{-2} e usando produto + cadeia:
f''(x)= -2(1+x^{2})^{-2} + (-2x)\cdot\big(-4x(1+x^{2})^{-3}\big).
Organizando e simplificando (detalhes: derivada de (1+x^{2})^{-2} é -2(1+x^{2})^{-3}\cdot 2x=-4x(1+x^{2})^{-3}):
f''(x)=\frac{2(3x^{2}-1)}{(1+x^{2})^{3}}.
  • Sinal de f''(x):
    • Zera quando 3x^{2}-1=0, ou seja em x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
    • Para |x|<\dfrac{1}{\sqrt{3}}: 3x^{2}-1<0 f''(x)<0 → concavidade para baixo (côncava).
    • Para |x|>\dfrac{1}{\sqrt{3}}: 3x^{2}-1>0 f''(x)>0 → concavidade para cima (convexa).
  • Conclusão: há pontos de inflexão em x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Os valores da função nestes pontos:
f\!\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\tfrac{4}{3}}=\frac{3}{4}=0{,}75.

Passo 7

Pontos úteis para marcar no esboço (valores fáceis):
  • f(0)=1.
  • f\!\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\tfrac{3}{4}=0{,}75 (inflection points).
  • f(\pm1)=\dfrac{1}{2}=0{,}5.
  • f(\pm2)=\dfrac{1}{5}=0{,}2.
  • f(\pm\sqrt{3})=\dfrac{1}{4}=0{,}25.
    Esses pontos ajudam a colocar a curva com precisão: máximo no centro, depois queda suave até se aproximar de zero.

Passo 8

Como construir o esboço passo a passo (para desenhar à mão, sem calculadora):
  1. Trace os eixos x e y. Marque o eixo y com pelo menos os valores 0,0{,}25,0{,}5,0{,}75,1.
  2. Marque o ponto (0,1) (máximo).
  3. Marque os pontos simétricos \left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{3}{4}\right), (\pm1,0{,}5), (\pm2,0{,}2).
  4. Desenhe uma curva suave, simétrica em relação ao eixo y, que sobe até (0,1) vindo da esquerda, é cada vez menos inclinada em direção ao máximo e depois desce simetricamente para a direita.
  5. Indique a assíntota horizontal y=0 com uma linha tracejada; a curva se aproxima dessa linha quando |x| aumenta.
  6. Observe a concavidade: entre -\tfrac{1}{\sqrt{3}} e \tfrac{1}{\sqrt{3}} a curva é côncava para baixo; fora desse intervalo é côncava para cima — isso dá o “perfil” da curva (mais arredondado no centro, depois alargando-se para se aproximar de zero).
  7. Não coloque cortes no eixo x (não existem), apenas a aproximação a y=0.

Passo 9

Dicas finais e reforço (um empurrãozinho amigo):
  • Lembre-se: a função é suave e simétrica; o gráfico lembra um “sino” achatado (não gaussiano) com topo em 1 e cauda que vai a zero.
  • Se estiver com pressa numa prova, basta indicar: domínio \mathbb{R}, máximo em (0,1), assíntota y=0, paridade (simetria em y), e marcar (\pm1,0{,}5) para dar forma ao esboço.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem (alcance): 0< f(x)\le 1 (intervalo (0,1])
Paridade: função par (simétrica em relação ao eixo y)
Interceptos: nenhum com eixo x; com eixo y em (0,1)
Máximo global: em x=0, f(0)=1
Monotonicidade: crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,\infty)
Assíntota horizontal: y=0 (quando x\to\pm\infty)
Concavidade: côncava para baixo em \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) e côncava para cima em (-\infty,-\dfrac{1}{\sqrt{3}})\cup(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\infty)
Pontos úteis: f(0)=1, f\!\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\tfrac{3}{4}, f(\pm1)=\tfrac{1}{2}, f(\pm2)=\tfrac{1}{5}

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