Esboce o gráfico das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
Informações dadas (apenas o que consta no enunciado):
- A fórmula da função é
. - Não há outras figuras ou dados numéricos fornecidos.
Passo 2
Domínio e positividade (o que a função permite e sinal):
- O denominador é
. Como para todo , tem-se . Portanto o denominador nunca é zero. - Conclusão: o domínio é
(todos os reais). - Também disso segue que
para todo . A função nunca toma valores negativos nem chega a zero (mas pode se aproximar de zero).
Passo 3
Interceptos e valor em
:
- Valor em zero:
. Então o gráfico passa por . - Interseção com o eixo
: não existe, pois para todo (logo não corta o eixo ). - Interseção com o eixo
: é o ponto (já visto). - Simetria: verificar
. Então é uma função par — simétrica em relação ao eixo .
Passo 4
Limites e assíntotas:
- Limite quando
:
Isto significa que
é uma assíntota horizontal; o gráfico se aproxima de
quando
cresce.
- Não há assíntotas verticais porque o denominador nunca se anula.
Passo 5
Derivada primeira — monotonicidade e extremos:
- Vou calcular a derivada usando a forma
. Pela regra da cadeia:
Explicando: derivou-se a potência
trazendo
vezes a função interna elevada a
, e depois multiplicou pela derivada de
, que é
.
- Sinal de
: - Para
: (negativo), então a função é decrescente em . - Para
: (positivo), então a função é crescente em . - Em
: .
- Para
- Conclusão:
é um ponto crítico e, pelo comportamento da derivada (muda de positivo para negativo), é um máximo local. Como a função é par, esse é o máximo global. - Valor do máximo:
. Assim o gráfico tem uma “cúpula” máxima em .
Passo 6
Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão:
- Calculemos
. Partindo de e usando produto + cadeia:
Organizando e simplificando (detalhes: derivada de
é
):
- Sinal de
: - Zera quando
, ou seja em . - Para
: → → concavidade para baixo (côncava). - Para
: → → concavidade para cima (convexa).
- Zera quando
- Conclusão: há pontos de inflexão em
. Os valores da função nestes pontos:
Passo 7
Pontos úteis para marcar no esboço (valores fáceis):
-
. -
(inflection points). -
. -
. -
.
Esses pontos ajudam a colocar a curva com precisão: máximo no centro, depois queda suave até se aproximar de zero.
Passo 8
Como construir o esboço passo a passo (para desenhar à mão, sem calculadora):
- Trace os eixos
e . Marque o eixo com pelo menos os valores . - Marque o ponto
(máximo). - Marque os pontos simétricos
, , . - Desenhe uma curva suave, simétrica em relação ao eixo
, que sobe até vindo da esquerda, é cada vez menos inclinada em direção ao máximo e depois desce simetricamente para a direita. - Indique a assíntota horizontal
com uma linha tracejada; a curva se aproxima dessa linha quando aumenta. - Observe a concavidade: entre
e a curva é côncava para baixo; fora desse intervalo é côncava para cima — isso dá o “perfil” da curva (mais arredondado no centro, depois alargando-se para se aproximar de zero). - Não coloque cortes no eixo
(não existem), apenas a aproximação a .
Passo 9
Dicas finais e reforço (um empurrãozinho amigo):
- Lembre-se: a função é suave e simétrica; o gráfico lembra um “sino” achatado (não gaussiano) com topo em
e cauda que vai a zero. - Se estiver com pressa numa prova, basta indicar: domínio
, máximo em , assíntota , paridade (simetria em ), e marcar para dar forma ao esboço.
Resposta
Domínio:
Imagem (alcance): (intervalo
)
Paridade: função par (simétrica em relação ao eixo )
Interceptos: nenhum com eixo ; com eixo
em
Máximo global: em ,
Monotonicidade: crescente em , decrescente em
Assíntota horizontal: (quando
)
Concavidade: côncava para baixo em e côncava para cima em
Pontos úteis: ,
,
,
Imagem (alcance):
Paridade: função par (simétrica em relação ao eixo
Interceptos: nenhum com eixo
Máximo global: em
Monotonicidade: crescente em
Assíntota horizontal:
Concavidade: côncava para baixo em
Pontos úteis: