(1,0) Encontre o domínio e esboce o gráfico de
f(x)=2+1x+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o domínio e esboçarmos o gráfico da função racional
f(x)=2+1x+1
Este conteúdo envolve domínio de função racional, assíntotas e transformações do gráfico de 1x.

Passo 2

Para determinar o domínio, note que a expressão 1x+1 só é indefinida quando o denominador é zero, ou seja,
x+1=0Longrightarrow x=-1
Logo, o domínio de f é
,xinRmid xneq -1

Passo 3

As assíntotas vêm de dois limites:
– Assíntota vertical: ocorre onde o denominador some, isto é, em
x=-1
– Assíntota horizontal: é o valor que f(x) se aproxima quando xtopminfty. Como
limxtopminfty1x+1=0,
temos
limxtopminftyf(x)=2,
logo a assíntota horizontal é
y=2

Passo 4

Perceba que f(x)=2+1x+1 resulta da função básica y=1x traduzida 1 unidade para a esquerda (substituição xmapsto x+1) e 2 unidades para cima (adição de 2). O centro da hipérbole fica em (-1,2).
Escolhendo pontos de referência:
f(0)=2+10+1=3, f(-2)=2+1-2+1=1
Isso mostra dois pontos em cada ramo: (0,3) no ramo direito e (-2,1) no ramo esquerdo.

Passo 5

Esboço do gráfico:
– Assíntotas: reta vertical x=-1 e reta horizontal y=2.
– Dois ramos de hipérbole:
\quad bul<=t Para x>-1, x+1>0 então f(x)>2: ramo acima da assíntota horizontal, passando em (0,3).
\quad bul<=t Para x<-1, x+1<0 então f(x)<2: ramo abaixo, passando em (-2,1).
O gráfico tem o formato clássico de uma hipérbole equilátera deslocada e se aproxima das duas assíntotas sem tocá-las.

Resposta

Domínio: xinRmid xneq -1
Gráfico: hipérbole com centro em (-1,2), assíntotas x=-1 e y=2, ramo acima de y=2 para x>-1 (ex.: (0,3)) e ramo abaixo de y=2 para x<-1 (ex.: (-2,1)).

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