Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
f(x)= \begin{cases}x+9 & \text { se } x<-3 \\\\ -2 x & \text { se }|x| \leqslant 3 \\\\ -6 & \text { se } x>3\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} x+9, & x<-3,\\\\ -2x, & |x|\le3,\\\\ -6, & x>3, \end{cases}
e pede (1) o domínio e (2) o esboço do gráfico. Vamos usar análise de intervalos, pontos de junção e desenho de cada pedaço.

Passo 2

O domínio de f é a união dos três intervalos em que ela está definida:
(-\infty,-3)\;\cup\;[-3,3]\;\cup\;(3,\infty)\;=\;\mathbb{R}.

Passo 3

Analisamos os pontos de transição x=-3 e x=3:
  • Em x=-3:
  • Limite pela esquerda: \lim_{x\to-3^-}(x+9)=6.
  • Valor pela peça do meio: f(-3)=-2\cdot(-3)=6.
    Logo, há continuidade e o ponto (-3,6) é fechado.
  • Em x=3:
  • Limite pela esquerda: \lim_{x\to3^-}(-2x)=-6.
  • Valor em x=3: f(3)=-2\cdot3=-6.
  • Limite pela direita: \lim_{x\to3^+}(-6)=-6, mas a definição para x>3 não inclui x=3.
    Logo, (3,-6) aparece fechado para a peça do meio e aberto para a peça constante.

Passo 4

Esboço do gráfico por trechos:
  • Para x<-3: reta y=x+9, inclinação 1. Passa por (-9,0) e aproxima-se de (-3,6) com círculo aberto ali.
  • Para -3\le x\le3: reta y=-2x, inclinação -2. Passa por (-3,6), (0,0) e (3,-6), todos com círculos fechados.
  • Para x>3: linha horizontal y=-6, estendendo-se à direita, com círculo aberto em (3,-6).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Gráfico: três segmentos — reta y=x+9 para x<-3 (aberta em (-3,6)), reta y=-2x em [-3,3] (fechada nos extremos) e linha horizontal y=-6 para x>3 (aberta em (3,-6)).

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