Encontre o domínio e esboce o gráfico das funções abaixo:
f(x)= \begin{cases}2 x+3, & \text { se } x<-1, \\\\ 3-x, & \text { se } x \geq-1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x+3, & x<-1,\\\\ 3 - x, & x\ge -1, \end{cases}
e pede duas coisas: o domínio de f e um esboço do gráfico. Vamos ver em que valores de x cada ramo está definido e depois traçar as retas correspondentes.

Passo 2

Cada expressão está definida para todos os x\in\mathbb{R}, mas com restrições de intervalo. O primeiro ramo vale para x<-1 e o segundo vale para x\ge -1. Esses dois intervalos cobrem todo o eixo real sem lacunas nem sobreposições além do ponto x=-1, que fica no segundo ramo (fechado). Portanto,

Passo 3

O domínio de f é a união dos dois intervalos:
(-\infty,-1)\,\cup\,[-1,\infty)
que equivale a todo o conjunto dos números reais.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, tratamos cada ramo como uma reta:
  1. Ramo 1: \;y=2x+3, válido para x<-1.
  • Em x=-1 o valor seria 2(-1)+3=1, mas como esse ponto não está incluído, marcamos um círculo aberto em \bigl(-1,1\bigr).
  • Podemos apontar mais um ponto, por exemplo em x=-2: f(-2)=2(-2)+3=-1.
  1. Ramo 2: \;y=3-x, válido para x\ge -1.
  • Em x=-1 o valor é 3-(-1)=4, e aqui temos um ponto fechado em \bigl(-1,4\bigr).
  • Outro ponto para guiar o traço: em x=0, f(0)=3; em x=3, f(3)=0.

Passo 5

Agora basta desenhar:
  • Para x<-1, trace a reta de inclinação 2 que passa por (-2,-1) e dirige-se infinitamente para baixo à esquerda, com círculo aberto em (-1,1).
  • Para x\ge -1, trace a reta de inclinação -1 que passa por (-1,4) (ponto cheio), por (0,3), por (3,0), e continua indefinidamente para a direita e para baixo.

Resposta

O domínio de f é
(-\infty,\infty).
O gráfico é formado por dois segmentos de reta unidos em x=-1:
  • Reta y=2x+3 para x<-1 com ponto aberto em (-1,1).
  • Reta y=3-x para x\ge -1 com ponto fechado em (-1,4).

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