Um número natural
é um número par quando
, onde
e ímpar quando
, com
.
a) Mostre que a soma de funções ímpares é ímpar e que a soma de funções pares é par.
b) Considere a função polinomial dada por
com
. Mostre que se
é par então
é uma função par e que se
é ímpar
é uma função ímpar.
a) Mostre que a soma de funções ímpares é ímpar e que a soma de funções pares é par.
b) Considere a função polinomial dada por
Passo 1
O enunciado define funções pares e ímpares usando a propriedade em relação a
e
:
– Uma função é par se, para todo
em seu domínio,
– Uma função
– Uma função
é ímpar se, para todo
em seu domínio,
Na parte (a) precisamos mostrar que a soma de duas pares é par e que a soma de duas ímpares é ímpar. Na parte (b) vamos aplicar essa definição à função
, explorando o fato de
depender da paridade de
.
Passo 2
Mostrando que a soma de funções ímpares é ímpar.
Sejam e
funções ímpares. Então, para todo
,
Sejam
Considere a função
. Temos
Logo
satisfaz
, ou seja,
é ímpar.
Passo 3
Mostrando que a soma de funções pares é par.
Sejam e
funções pares. Então
Sejam
Defina
. Então
Logo
satisfaz
, ou seja,
é par.
Passo 4
Mostrando que
é par quando
é par.
Se é par, existe
tal que
. Então
Se
Assim
, logo
é par.
Passo 5
Mostrando que
é ímpar quando
é ímpar.
Se é ímpar, existe
tal que
. Então
Se
Logo
, ou seja,
é ímpar.
Resposta
a) A soma de funções ímpares é ímpar e a soma de funções pares é par.
b) Se é par,
é par; se
é ímpar,
é ímpar.
b) Se