Um número natural n é um número par quando n=2 k, onde k \in \mathbb{N} e ímpar quando n=2 k+1, com k \in \mathbb{N}.
a) Mostre que a soma de funções ímpares é ímpar e que a soma de funções pares é par.
b) Considere a função polinomial dada por f(x)=x^{n} com n \in \mathbb{N}. Mostre que se n é par então f(x) é uma função par e que se n é ímpar f(x) é uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado define funções pares e ímpares usando a propriedade em relação a x e -x:
– Uma função f é par se, para todo x em seu domínio,
f(-x)=f(x).
– Uma função f é ímpar se, para todo x em seu domínio,
f(-x)=-\,f(x).
Na parte (a) precisamos mostrar que a soma de duas pares é par e que a soma de duas ímpares é ímpar. Na parte (b) vamos aplicar essa definição à função f(x)=x^n, explorando o fato de (-x)^n depender da paridade de n.

Passo 2

Mostrando que a soma de funções ímpares é ímpar.
Sejam f e g funções ímpares. Então, para todo x,
f(-x)=-\,f(x) \quad\text{e}\quad g(-x)=-\,g(x).
Considere a função h(x)=f(x)+g(x). Temos
h(-x)=f(-x)+g(-x) =-\,f(x)\;+\;-\,g(x) =-(f(x)+g(x)) =-\,h(x).
Logo h satisfaz h(-x)=-h(x), ou seja, h é ímpar.

Passo 3

Mostrando que a soma de funções pares é par.
Sejam f e g funções pares. Então
f(-x)=f(x) \quad\text{e}\quad g(-x)=g(x).
Defina h(x)=f(x)+g(x). Então
h(-x)=f(-x)+g(-x) =f(x)+g(x) =h(x).
Logo h satisfaz h(-x)=h(x), ou seja, h é par.

Passo 4

Mostrando que f(x)=x^n é par quando n é par.
Se n é par, existe k\in\mathbb{N} tal que n=2k. Então
f(-x)=(-x)^{n}=(-x)^{2k} =\bigl((-x)^2\bigr)^k =(x^2)^k =x^{2k} =f(x).
Assim f(-x)=f(x), logo f é par.

Passo 5

Mostrando que f(x)=x^n é ímpar quando n é ímpar.
Se n é ímpar, existe k\in\mathbb{N} tal que n=2k+1. Então
f(-x)=(-x)^{n}=(-x)^{2k+1} =(-x)^{2k}\cdot(-x) =(x^{2k})\cdot(-x) =-\,x^{2k+1} =-\,f(x).
Logo f(-x)=-f(x), ou seja, f é ímpar.

Resposta

a) A soma de funções ímpares é ímpar e a soma de funções pares é par.
b) Se n é par, f(x)=x^n é par; se n é ímpar, f(x)=x^n é ímpar.

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