Esboce o gráfico da função
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text { se } x<0 \\ x+1, & \text { se } 0 \leq x<2 \\ 3, & \text { se } x \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)= \begin{cases} x^{2}, & \text{se }x<0,\\\ x+1, & \text{se }0\le x<2,\\\\ 3, & \text{se }x\ge2. \end{cases}
Aqui o conteúdo é “gráfico de função por partes”: a ideia é desenhar cada ramo no seu intervalo e, nos pontos de fronteira x=0 e x=2, marcar se o ponto está incluído (círculo fechado) ou excluído (círculo aberto).

Passo 2

Para x<0 temos o ramo quadrático y=x^2. Isso é uma parábola com concavidade para cima, que vai de +\infty quando x\to-\infty até o valor
\lim_{x\to0^-}x^2 = 0.
No ponto (0,0) esse ramo não está definido, então desenhamos um círculo aberto em (0,0).

Passo 3

No intervalo 0\le x<2 temos o ramo linear y=x+1. Em x=0 esse ramo vale
f(0)=0+1=1,
portanto em (0,1) há um ponto fechado. Seguindo a reta até x\to2^-, chegamos em
\lim_{x\to2^-}(x+1)=3,
mas como a definição vale apenas para x<2, em (2,3) colocamos um círculo aberto.

Passo 4

Para x\ge2 a função é constante y=3. Em x=2 vale
f(2)=3,
então no ponto (2,3) temos um círculo fechado. Para x>2 desenhamos uma reta horizontal em y=3.

Resposta

O gráfico de f consiste em três trechos:
(a) Para x<0, a parábola y=x^2 terminando em círculo aberto em (0,0).
(b) Para 0\le x<2, a reta y=x+1 com ponto fechado em (0,1) e círculo aberto em (2,3).
(c) Para x\ge2, a reta horizontal y=3 com ponto fechado em (2,3).

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