Encontre o domínio da funçāo.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede-se o domínio da função
definida por . - Informação dada: a função é uma razão de polinômios (função racional) com numerador
e denominador . - Objetivo: listar todos os valores de
para os quais está bem definida (no conjunto dos números reais).
Passo 2
O que significa “domínio” neste contexto e qual a restrição principal.
- Domínio = conjunto de todos os
para os quais a expressão que define faz sentido. - Para funções racionais a única restrição é que o denominador não pode ser zero (pois divisão por zero é indefinida).
- Portanto, precisamos encontrar os valores de
que anulam o denominador e excluí‑los do domínio.
Passo 3
Fatoração do denominador para encontrar onde ele é zero.
- Vamos fatorar o polinômio quadrático
.
- Explicando a fatoração: procura‑se dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja (coeficiente de ). Esses números são e .
Passo 4
Resolver a equação do denominador igual a zero.
- Igualando o denominador a zero:
- Uma produto é zero quando algum dos fatores é zero, portanto
- Conclusão: o denominador anula em
e em . Esses valores não podem estar no domínio.
Passo 5
Verificar se há cancelamento com o numerador (para não excluir pontos que na verdade seriam removíveis).
- O numerador é
. Vamos ver suas raízes:
- Observação:
não são iguais a nem a (pois ). Logo não há fator comum entre numerador e denominador; não ocorre cancelamento. - Consequência prática: os únicos pontos a excluir do domínio continuam sendo
e .
Passo 6
Escrever o domínio final de forma clara (notação em conjunto e notação intervalar).
- Em notação de conjunto:
- Em notação intervalar: