Encontre o domínio da funçāo.
f(x)=\frac{2 x^{2}-5}{x^{2}+x-6}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se o domínio da função f definida por f(x)=\dfrac{2 x^{2}-5}{x^{2}+x-6}.
  • Informação dada: a função é uma razão de polinômios (função racional) com numerador 2x^{2}-5 e denominador x^{2}+x-6.
  • Objetivo: listar todos os valores de x para os quais f(x) está bem definida (no conjunto dos números reais).

Passo 2

O que significa “domínio” neste contexto e qual a restrição principal.
  • Domínio = conjunto de todos os x\in\mathbb{R} para os quais a expressão que define f(x) faz sentido.
  • Para funções racionais a única restrição é que o denominador não pode ser zero (pois divisão por zero é indefinida).
  • Portanto, precisamos encontrar os valores de x que anulam o denominador x^{2}+x-6 e excluí‑los do domínio.

Passo 3

Fatoração do denominador para encontrar onde ele é zero.
  • Vamos fatorar o polinômio quadrático x^{2}+x-6.
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)
  • Explicando a fatoração: procura‑se dois números cujo produto seja -6 (termo constante) e cuja soma seja +1 (coeficiente de x). Esses números são +3 e -2.

Passo 4

Resolver a equação do denominador igual a zero.
  • Igualando o denominador a zero:
(x+3)(x-2)=0
  • Uma produto é zero quando algum dos fatores é zero, portanto
x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3
x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2
  • Conclusão: o denominador anula em x=-3 e em x=2. Esses valores não podem estar no domínio.

Passo 5

Verificar se há cancelamento com o numerador (para não excluir pontos que na verdade seriam removíveis).
  • O numerador é 2x^{2}-5. Vamos ver suas raízes:
2x^{2}-5=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\dfrac{5}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{\dfrac{5}{2}}.
  • Observação: \pm\sqrt{\dfrac{5}{2}} não são iguais a 2 nem a -3 (pois \sqrt{\tfrac{5}{2}}\approx1{,}58). Logo não há fator comum entre numerador e denominador; não ocorre cancelamento.
  • Consequência prática: os únicos pontos a excluir do domínio continuam sendo x=-3 e x=2.

Passo 6

Escrever o domínio final de forma clara (notação em conjunto e notação intervalar).
  • Em notação de conjunto:
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq -3,\\ x\neq 2\,\}
  • Em notação intervalar:
(-\infty,-3)\cup(-3,2)\cup(2,\infty)

Resposta

\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq -3,\\ x\neq 2\,\}

Exercícios relacionados