Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta.
f(x)=x: \quad \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x e pede que eu calcule o quociente das diferenças
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Informações relevantes:
  • A função é f(x)=x.
  • A expressão a simplificar é \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
  • Deve-se lembrar que a divisão por h exige h\neq 0 para que o quociente esteja bem definido.

Passo 2

Avaliar f(a+h) substituindo x por a+h na definição de f. Como f(x)=x, temos
f(a+h)=a+h.
Explicação curta: “avaliar a função” significa trocar x pelo valor dado e calcular.

Passo 3

Avaliar f(a) substituindo x por a. Como f(x)=x, temos
f(a)=a.

Passo 4

Formar o numerador do quociente das diferenças usando os resultados dos passos anteriores:
f(a+h)-f(a)=(a+h)-a.
Agora simplificar a expressão no numerador. As parcelas +a e -a se cancelam, porque somar e subtrair o mesmo número dá zero. Logo
(a+h)-a=h.

Passo 5

Substituir o numerador simplificado na fração original e dividir por h:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{h}{h}.
Para h\neq 0 vale \dfrac{h}{h}=1, pois qualquer número não nulo dividido por si mesmo é 1.

Passo 6

Interpretação rápida (útil na prova): o quociente das diferenças da função identidade f(x)=x é sempre 1 (para h\neq 0). Isso também corresponde à inclinação da reta y=x, que é 1. Mantenha em mente a condição h\neq 0 quando trabalhar com quocientes das diferenças.

Resposta

1

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