[2,1] O volume de um tetraedro com vértices A\left(x_{A}, y_{A}, z_{A}\right), B\left(x_{B}, y_{B}, z_{B}\right), C\left(x_{C}, y_{C}, z_{C}\right) e D\left(x_{D}, y_{D}, z_{D}\right) no espaço tridimensional é dado por \frac{1}{6}|\operatorname{det}(\mathbf{M})|, em que
Usando a expansão de Laplace, calcule o volume do tetraedro com vértices A(1,2,3), B(2,1,4), C(0,0,2) e D(-4,3,1).
Passo 1
O enunciado pede o volume do tetraedro cujos vértices são A(1,2,3), B(2,1,4), C(0,0,2) e D(-4,3,1). Foi dada a fórmula: o volume é \dfrac{1}{6}\big|\det(\mathbf{M})\big|, onde
Aqui os dados concretos são as coordenadas dos quatro vértices (peguei todos esses valores do enunciado). A tarefa é calcular a determinante de \mathbf{M} (usando a expansão de Laplace, como solicitado) e então obter o volume por \dfrac{1}{6}|\det(\mathbf{M})|.]
Passo 2
Breve explicação da expansão de Laplace (cofatores), que vamos usar: se \mathbf{M}=(m_{ij}) é uma matriz n\times n, a expansão ao longo da coluna j é
onde \mathbf{M}_{ij} é a menor que se obtém removendo a linha i e a coluna j de \mathbf{M}. O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofator. No nosso caso \mathbf{M} é 4\times4 e a quarta coluna é composta por quatro entradas iguais a 1, então expandir ao longo da coluna 4 simplifica bastante: cada termo será \pm 1 vezes o determinante de uma matriz 3\times3.