[2,1] O volume de um tetraedro com vértices A\left(x_{A}, y_{A}, z_{A}\right), B\left(x_{B}, y_{B}, z_{B}\right), C\left(x_{C}, y_{C}, z_{C}\right) e D\left(x_{D}, y_{D}, z_{D}\right) no espaço tridimensional é dado por \frac{1}{6}|\operatorname{det}(\mathbf{M})|, em que
\mathbf{M}=\left[\begin{array}{llll} x_{A} & y_{A} & z_{A} & 1 \\\ x_{B} & y_{B} & z_{B} & 1 \\\ x_{C} & y_{C} & z_{C} & 1 \\\ x_{D} & y_{D} & z_{D} & 1 \end{array}\right]
Usando a expansão de Laplace, calcule o volume do tetraedro com vértices A(1,2,3), B(2,1,4), C(0,0,2) e D(-4,3,1).

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro cujos vértices são A(1,2,3), B(2,1,4), C(0,0,2) e D(-4,3,1). Foi dada a fórmula: o volume é \dfrac{1}{6}\big|\det(\mathbf{M})\big|, onde
\mathbf{M}=\begin{bmatrix} x_A & y_A & z_A & 1\\[4pt] x_B & y_B & z_B & 1\\[4pt] x_C & y_C & z_C & 1\\[4pt] x_D & y_D & z_D & 1 \end{bmatrix}.
Aqui os dados concretos são as coordenadas dos quatro vértices (peguei todos esses valores do enunciado). A tarefa é calcular a determinante de \mathbf{M} (usando a expansão de Laplace, como solicitado) e então obter o volume por \dfrac{1}{6}|\det(\mathbf{M})|.]

Passo 2

Breve explicação da expansão de Laplace (cofatores), que vamos usar: se \mathbf{M}=(m_{ij}) é uma matriz n\times n, a expansão ao longo da coluna j é
\det(\mathbf{M})=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, m_{ij}\, \det\big(\mathbf{M}_{ij}\big),
onde \mathbf{M}_{ij} é a menor que se obtém removendo a linha i e a coluna j de \mathbf{M}. O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofator. No nosso caso \mathbf{M} é 4\times4 e a quarta coluna é composta por quatro entradas iguais a 1, então expandir ao longo da coluna 4 simplifica bastante: cada termo será \pm 1 vezes o determinante de uma matriz 3\times3.

Passo 3

Escrevo a matriz numérica \mathbf{M}:
\mathbf{M}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1\\[4pt] -4 & 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}.
Expandindo \det(\mathbf{M}) pela coluna 4 (índice j=4) obtemos
\det(\mathbf{M}) = \sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+4}\cdot 1\cdot \det\big(\mathbf{M}_{i4}\big) = -\det\big(\mathbf{M}_{14}\big) + \det\big(\mathbf{M}_{24}\big) - \det\big(\mathbf{M}_{34}\big) + \det\big(\mathbf{M}_{44}\big),
pois (-1)^{1+4}=-1, (-1)^{2+4}=1, (-1)^{3+4}=-1, (-1)^{4+4}=1. Agora vou calcular cada uma das quatro menores 3\times3.]

Passo 4

Calcular \det\big(\mathbf{M}_{14}\big). A menor \mathbf{M}_{14} é a matriz obtida removendo a linha 1 e a coluna 4:
\mathbf{M}_{14}=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] -4 & 3 & 1 \end{bmatrix}.
Usando a fórmula do determinante de 3\times3,
\det\begin{bmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{bmatrix}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aqui a=2, b=1, c=4, d=0, e=0, f=2, g=-4, h=3, i=1. Substituindo:
\det(\mathbf{M}_{14}) = 2\big(0\cdot1-2\cdot3\big) - 1\big(0\cdot1-2\cdot(-4)\big) + 4\big(0\cdot3-0\cdot(-4)\big).
Calcule passo a passo:
2(0-6) - 1(0-(-8)) + 4(0-0)=2(-6)-1(8)+0=-12-8=-20.
Logo \det(\mathbf{M}_{14})=-20.]

Passo 5

Calcular \det\big(\mathbf{M}_{24}\big). A menor \mathbf{M}_{24} é a matriz com a linha 2 removida:
\mathbf{M}_{24}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] -4 & 3 & 1 \end{bmatrix}.
Usando a mesma fórmula com a=1, b=2, c=3, d=0, e=0, f=2, g=-4, h=3, i=1:
\det(\mathbf{M}_{24}) =1(0\cdot1-2\cdot3)-2(0\cdot1-2\cdot(-4))+3(0\cdot3-0\cdot(-4)).
Calcule:
1(0-6)-2(0-(-8))+3(0-0)=-6-2(8)+0=-6-16=-22.
Logo \det(\mathbf{M}_{24})=-22.]

Passo 6

Calcular \det\big(\mathbf{M}_{34}\big). A menor \mathbf{M}_{34} (removendo a linha 3) é
\mathbf{M}_{34}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & 4\\[4pt] -4 & 3 & 1 \end{bmatrix}.
Aplicando a fórmula com a=1, b=2, c=3, d=2, e=1, f=4, g=-4, h=3, i=1:
\det(\mathbf{M}_{34}) =1(1\cdot1-4\cdot3)-2(2\cdot1-4\cdot(-4))+3(2\cdot3-1\cdot(-4)).
Calcule:
1(1-12)-2(2-(-16))+3(6-(-4))=1(-11)-2(18)+3(10)=-11-36+30=-17.
Portanto \det(\mathbf{M}_{34})=-17.]

Passo 7

Calcular \det\big(\mathbf{M}_{44}\big). A menor \mathbf{M}_{44} (removendo a linha 4) é
\mathbf{M}_{44}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.
Com a=1, b=2, c=3, d=2, e=1, f=4, g=0, h=0, i=2:
\det(\mathbf{M}_{44}) =1(1\cdot2-4\cdot0)-2(2\cdot2-4\cdot0)+3(2\cdot0-1\cdot0).
Calcule:
1(2-0)-2(4-0)+3(0-0)=2-8+0=-6.
Assim \det(\mathbf{M}_{44})=-6.]

Passo 8

Agora reúno os quatro resultados na expansão de Laplace:
\det(\mathbf{M})=-\det(\mathbf{M}_{14})+\det(\mathbf{M}_{24})-\det(\mathbf{M}_{34})+\det(\mathbf{M}_{44}).
Substituindo os valores obtidos:
\det(\mathbf{M})=-(-20)+(-22)-(-17)+(-6)=20-22+17-6.
Calcule passo a passo:
20-22=-2,\qquad -2+17=15,\qquad 15-6=9.
Logo \det(\mathbf{M})=9. O volume do tetraedro é
\frac{1}{6}\big|\det(\mathbf{M})\big|=\frac{1}{6}\cdot 9.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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