Encontre o domínio da função.
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre raízes e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz de quarta grau:
Para que a função $ f(x) $ esteja definida, duas condições devem ser satisfeitas:
- O denominador não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida.
- A expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero, já que estamos lidando com uma raiz par (quarta raiz), que não é definida para números negativos no conjunto dos números reais.
Passo 3
Vamos tratar da primeira condição: o denominador não pode ser zero.
Então, precisamos encontrar quando:
Resolvendo essa equação:
Portanto, $ x $ não pode ser igual a 1.
Passo 4
Agora, vamos considerar a segunda condição: a expressão dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero.
Então, temos que:
Para resolver essa desigualdade, vamos analisar os sinais do numerador e do denominador separadamente.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar os valores de $ x $ que zeram o numerador:
Então, $ x = -1 $ é um ponto crítico.
Já vimos que $ x = 1 $ faz o denominador ser zero, então temos dois pontos críticos: $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Passo 6
Agora, vamos dividir a reta real em intervalos com base nesses pontos críticos e determinar o sinal da fração em cada intervalo.
Os intervalos são:
- $ x < -1 $
- $ -1 < x < 1 $
- $ x > 1 $
Passo 7
Vamos testar um valor em cada intervalo:
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Intervalo $ x < -1 $, por exemplo, $ x = -2 $:
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Intervalo $ -1 < x < 1 $, por exemplo, $ x = 0 $:
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Intervalo $ x > 1 $, por exemplo, $ x = 2 $:
Passo 8
Concluímos que a expressão $ \frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1} $ é positiva nos intervalos $ x < -1 $ e $ x > 1 $, e negativa no intervalo $ -1 < x < 1 $.
Lembrando que a raiz de quarto grau exige que a expressão seja maior ou igual a zero. Portanto, os valores de $ x $ que fazem a função estar definida são aqueles onde a fração é positiva e $ x \neq 1 $.
Resposta
O domínio da função $ f(x) = \sqrt[4]{\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}} $ é: