Um tanque de base quadrada, sem tampa, deve conter
. O custo, por centímetro quadrado, para a base é de
e para os lados
. Encontre as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque com base quadrada e sem tampa que precisa guardar 125 cm³ de água. O custo pra fazer a base é de R$8 por cm² e pros lados é de R$4 por cm². Nosso objetivo aqui é encontrar as dimensões desse tanque (o tamanho da base e a altura) de forma que o custo total seja o menor possível. Vamos usar um pouco de cálculo e matemática pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja $ x $ o comprimento de um lado da base quadrada em centímetros.
- Seja $ h $ a altura do tanque em centímetros.
Como a base é quadrada, a área da base é $ x^2 $.
Passo 3
Sabemos que o volume $ V $ do tanque é dado por:
Então:
Podemos isolar $ h $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o custo total. O custo tem duas partes: a da base e a dos quatro lados do tanque.
- Custo da base:
- Área dos quatro lados: cada lado tem área $ x \times h $, então quatro lados têm área $ 4xh $. Portanto:
Mas como $ h = \frac{125}{x^2} $, substituímos:
Passo 5
O custo total $ C $ é a soma do custo da base com o custo dos lados:
Passo 6
Para encontrar o mínimo custo, precisamos achar o valor de $ x $ que minimiza a função $ C(x) $. Fazemos isso calculando a derivada de $ C $ em relação a $ x $ e igualando a zero.
Primeiro, vamos derivar $ C $:
Passo 7
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 $:
Passo 8
Agora que temos $ x = 5 $ cm, vamos encontrar a altura $ h $:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo do tanque são:
- Base: 5 cm de lado
- Altura: 5 cm