Um tanque de base quadrada, sem tampa, deve conter 125 cm^3. O custo, por centímetro quadrado, para a base é de R e para os lados e para os lados . Encontre as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque com base quadrada e sem tampa que precisa guardar 125 cm³ de água. O custo pra fazer a base é de R$8 por cm² e pros lados é de R$4 por cm². Nosso objetivo aqui é encontrar as dimensões desse tanque (o tamanho da base e a altura) de forma que o custo total seja o menor possível. Vamos usar um pouco de cálculo e matemática pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja $ x $ o comprimento de um lado da base quadrada em centímetros.
  • Seja $ h $ a altura do tanque em centímetros.
Como a base é quadrada, a área da base é $ x^2 $.

Passo 3

Sabemos que o volume $ V $ do tanque é dado por:
V Á
Então:
V = Área da base times A
Podemos isolar $ h $:
x^2 times h = 125

Passo 4

Agora, vamos calcular o custo total. O custo tem duas partes: a da base e a dos quatro lados do tanque.
  • Custo da base:
Cbase = 8 times x^2
  • Área dos quatro lados: cada lado tem área $ x \times h $, então quatro lados têm área $ 4xh $. Portanto:
x times h
Mas como $ h = \frac{125}{x^2} $, substituímos:
4xh

Passo 5

O custo total $ C $ é a soma do custo da base com o custo dos lados:
C

Passo 6

Para encontrar o mínimo custo, precisamos achar o valor de $ x $ que minimiza a função $ C(x) $. Fazemos isso calculando a derivada de $ C $ em relação a $ x $ e igualando a zero.
Primeiro, vamos derivar $ C $:
x

Passo 7

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
16x - 2000x^2 = 0
16x = 2000x^2
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 $:
x^2
16x^3 = 2000
x^3 = 200016
x^3 = 125
x = raiz[3]125

Passo 8

Agora que temos $ x = 5 $ cm, vamos encontrar a altura $ h $:
x = 5

Resposta

As dimensões que minimizam o custo do tanque são:
  • Base: 5 cm de lado
  • Altura: 5 cm

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