Encontre o domínio da função.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar o domínio da função $ f(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right) $. O conteúdo envolvido aqui são funções logarítmicas e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar garantir que tudo o que está dentro do logaritmo seja maior que zero e que a expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural $ \ln(y) $ só existe se $ y > 0 $. Então, precisamos que:
Passo 3
Agora, olhemos para a parte dentro da raiz quadrada: $ \sqrt{x^{2} - 1} $. Para que essa raiz seja válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo essa desigualdade:
Passo 4
Então, já sabemos que $ x $ deve ser menor ou igual a -1 ou maior ou igual a 1. Mas ainda precisamos garantir que $ x + \sqrt{x^{2} - 1} > 0 $.
Vamos analisar os dois casos:
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Quando $ x \geq 1 $:
- Tanto $ x $ quanto $ \sqrt{x^{2} - 1} $ são positivos.
- Portanto, a soma $ x + \sqrt{x^{2} - 1} $ também será positiva.
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Quando $ x \leq -1 $:
- $ x $ é negativo e $ \sqrt{x^{2} - 1} $ é positivo.
- Mas, na verdade, $ \sqrt{x^{2} - 1} $ é sempre menor ou igual a $ |x| $ quando $ x \leq -1 $.
- Isso significa que $ x + \sqrt{x^{2} - 1} \leq -1 + 1 = 0 $, ou seja, não é maior que zero.
Passo 5
Concluímos que a única parte do domínio que satisfaz todas as condições é quando $ x \geq 1 $.
Resposta
O domínio da função é $ \boxed{[1, ,+\infty)} $.