Encontre o domínio da função.
f(x)=ln (x+raizx^2-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar o domínio da função $ f(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right) $. O conteúdo envolvido aqui são funções logarítmicas e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar garantir que tudo o que está dentro do logaritmo seja maior que zero e que a expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural $ \ln(y) $ só existe se $ y > 0 $. Então, precisamos que:
ln(y)

Passo 3

Agora, olhemos para a parte dentro da raiz quadrada: $ \sqrt{x^{2} - 1} $. Para que essa raiz seja válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
raizx^2 - 1
Resolvendo essa desigualdade:
x^2 - 1 >= 0

Passo 4

Então, já sabemos que $ x $ deve ser menor ou igual a -1 ou maior ou igual a 1. Mas ainda precisamos garantir que $ x + \sqrt{x^{2} - 1} > 0 $.
Vamos analisar os dois casos:
  1. Quando $ x \geq 1 $:
    • Tanto $ x $ quanto $ \sqrt{x^{2} - 1} $ são positivos.
    • Portanto, a soma $ x + \sqrt{x^{2} - 1} $ também será positiva.
  2. Quando $ x \leq -1 $:
    • $ x $ é negativo e $ \sqrt{x^{2} - 1} $ é positivo.
    • Mas, na verdade, $ \sqrt{x^{2} - 1} $ é sempre menor ou igual a $ |x| $ quando $ x \leq -1 $.
    • Isso significa que $ x + \sqrt{x^{2} - 1} \leq -1 + 1 = 0 $, ou seja, não é maior que zero.

Passo 5

Concluímos que a única parte do domínio que satisfaz todas as condições é quando $ x \geq 1 $.

Resposta

O domínio da função é $ \boxed{[1, ,+\infty)} $.

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