Encontre o domínio da função g definida por
g(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-1}}
e pede o domínio de g, ou seja, o conjunto de todos os números reais x para os quais g(x) está bem definida como número real. As informações relevantes são:
  • a expressão dentro da raiz quadrada (o radicando) é \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-1};
  • para a raiz quadrada de um número real ser definida é necessário que esse radicando seja maior ou igual a zero;
  • a expressão é uma fração, logo o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Traduzindo as condições em matemática, precisamos achar todos os x\in\mathbb{R} tais que simultaneamente:
\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-1}\ge 0
e
x^{2}-1\ne 0.
A segunda condição equivale a x\ne 1 e x\ne -1. Portanto os pontos x=\pm1 devem ser excluídos do domínio mesmo que a desigualdade permitisse algo neles.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador para facilitar o estudo do sinal:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3), \qquad x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Assim o radicando é
\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+1)}.

Passo 4

Os pontos críticos (zeros dos fatores) são os valores que mudam o sinal da fração: -1,\,1,\,2,\,3. Eles particionam a reta em cinco intervalos:
(-\infty,-1),\quad (-1,1),\quad (1,2),\quad (2,3),\quad (3,\infty).
Nos intervalos abertos o sinal da fração é constante; nos pontos críticos a fração pode ser zero (se o numerador for zero) ou indefinida (se o denominador for zero).

Passo 5

Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo. Para cada fator consideramos se é positivo (+) ou negativo (−); o sinal da fração é o produto dos sinais do numerador dividido pelo produto dos sinais do denominador.
Tomando um ponto teste em cada intervalo:
  • Para x=-2\in(-\infty,-1):
    (x-2)=-, (x-3)=- ⇒ numerador +.
    (x-1)=-, (x+1)=- ⇒ denominador +.
    Logo a fração é +.
  • Para x=0\in(-1,1):
    (x-2)=-, (x-3)=- ⇒ numerador +.
    (x-1)=-, (x+1)=+ ⇒ denominador -.
    Logo a fração é -.
  • Para x=1{,}5\in(1,2):
    (x-2)=-, (x-3)=- ⇒ numerador +.
    (x-1)=+, (x+1)=+ ⇒ denominador +.
    Logo a fração é +.
  • Para x=2{,}5\in(2,3):
    (x-2)=+, (x-3)=- ⇒ numerador -.
    (x-1)=+, (x+1)=+ ⇒ denominador +.
    Logo a fração é -.
  • Para x=4\in(3,\infty):
    (x-2)=+, (x-3)=+ ⇒ numerador +.
    (x-1)=+, (x+1)=+ ⇒ denominador +.
    Logo a fração é +.
Resumindo os sinais da fração \dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+1)}:
  • positivo em (-\infty,-1),
  • negativo em (-1,1),
  • positivo em (1,2),
  • negativo em (2,3),
  • positivo em (3,\infty).

Passo 6

Agora aplicamos a condição de que o radicando deve ser \ge 0. Isso significa que aceitamos os intervalos onde a fração é positiva, e também os pontos onde a fração é zero (isto é, zeros do numerador) desde que o denominador não seja zero nesses pontos.
  • Os zeros do numerador são x=2 e x=3. Nestes pontos o radicando vale 0 porque o denominador em x=2 e x=3 é diferente de zero ( 2^2-1=3 e 3^2-1=8), portanto x=2 e x=3 pertencem ao domínio.
  • Os pontos x=\pm1 fazem o denominador zero, logo são excluídos.
Juntando tudo: aceitáveis são os intervalos onde a fração é positiva, mais os zeros 2 e 3. Assim o conjunto de x que satisfaz \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-1}\ge0 e x\ne\pm1 é
(-\infty,-1)\\ \cup\\ (1,2]\\ \cup\\ [3,\infty).

Resposta

(-\infty,-1)\cup(1,2]\cup[3,\infty)

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