Encontre o domínio da função
definida por
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio de
, ou seja, o conjunto de todos os números reais
para os quais
está bem definida como número real. As informações relevantes são:
- a expressão dentro da raiz quadrada (o radicando) é
; - para a raiz quadrada de um número real ser definida é necessário que esse radicando seja maior ou igual a zero;
- a expressão é uma fração, logo o denominador não pode ser zero.
Passo 2
Traduzindo as condições em matemática, precisamos achar todos os
tais que simultaneamente:
e
A segunda condição equivale a
e
. Portanto os pontos
devem ser excluídos do domínio mesmo que a desigualdade permitisse algo neles.
Passo 3
Fatoramos numerador e denominador para facilitar o estudo do sinal:
Assim o radicando é
Passo 4
Os pontos críticos (zeros dos fatores) são os valores que mudam o sinal da fração:
. Eles particionam a reta em cinco intervalos:
Nos intervalos abertos o sinal da fração é constante; nos pontos críticos a fração pode ser zero (se o numerador for zero) ou indefinida (se o denominador for zero).
Passo 5
Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo. Para cada fator consideramos se é positivo (+) ou negativo (−); o sinal da fração é o produto dos sinais do numerador dividido pelo produto dos sinais do denominador.
Tomando um ponto teste em cada intervalo:
-
Para
:
, ⇒ numerador .
, ⇒ denominador .
Logo a fração é. -
Para
:
, ⇒ numerador .
, ⇒ denominador .
Logo a fração é. -
Para
:
, ⇒ numerador .
, ⇒ denominador .
Logo a fração é. -
Para
:
, ⇒ numerador .
, ⇒ denominador .
Logo a fração é. -
Para
:
, ⇒ numerador .
, ⇒ denominador .
Logo a fração é.
Resumindo os sinais da fração
:
- positivo em
, - negativo em
, - positivo em
, - negativo em
, - positivo em
.
Passo 6
Agora aplicamos a condição de que o radicando deve ser
. Isso significa que aceitamos os intervalos onde a fração é positiva, e também os pontos onde a fração é zero (isto é, zeros do numerador) desde que o denominador não seja zero nesses pontos.
- Os zeros do numerador são
e . Nestes pontos o radicando vale porque o denominador em e é diferente de zero ( e ), portanto e pertencem ao domínio. - Os pontos
fazem o denominador zero, logo são excluídos.
Juntando tudo: aceitáveis são os intervalos onde a fração é positiva, mais os zeros
e
. Assim o conjunto de
que satisfaz
e
é