Seja
uma função vetorial. Se
representa a trajetória de um móvel com posição inicial em
:
a) Determine os seus vetores velocidade e aceleração em
;
b) Em qual posição o móvel se encontra após ter percorrido uma distância de -
unidades sobre a curva?
c) Apresente outra parametrização para a curva percorrida pelo móvel;
d) Represente a trajetória do móvel em
e marque sobre ela alguns vetores tangentes.
a) Determine os seus vetores velocidade e aceleração em
b) Em qual posição o móvel se encontra após ter percorrido uma distância de -
c) Apresente outra parametrização para a curva percorrida pelo móvel;
d) Represente a trajetória do móvel em
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial de posição
com posição inicial em
. Ele pede quatro coisas:
- (a) determinar os vetores velocidade e aceleração no instante
; - (b) determinar a posição do móvel após ter percorrido a distância
ao longo da curva (note o sinal negativo); - (c) apresentar outra parametrização da mesma curva percorrida pelo móvel;
- (d) representar a trajetória em
e indicar alguns vetores tangentes sobre ela.
Informações relevantes fornecidas:
- A posição está dada por
acima. - A constante no terceiro componente é
, então a curva está contida no plano . - O móvel parte de
, portanto a posição inicial é .
Passo 2
Primeiro vamos achar a velocidade
e a aceleração
de forma geral — isso é básico, porque velocidade é derivada da posição e aceleração é derivada da velocidade.
Regra usada (cadeia e derivada componente a componente):
- Se
, então e .
Aplicando componente a componente a
:
- Derivada de
: use a regra da cadeia. Derivada de é e derivada de é . Logo
- Derivada de
: análogo,
- Derivada de
é .
Portanto a velocidade geral é
Agora a aceleração é a derivada de
. Derivando componente a componente:
- Derivada de
: vezes derivada de que é , então dá . - Derivada de
: vezes derivada de que é , então dá . - Derivada de
é .
Assim
Agora avaliamos em
. Calcule primeiro
em
:
Conhecendo as razões trigonométricas:
Substituindo nas fórmulas:
- Velocidade em
:
- Aceleração em
:
Interpretação curta (didática): o vetor velocidade aponta tangente à curva e é horizontal (terceira componente zero). A aceleração aqui aponta radialmente para fora/para dentro no plano da circunferência (também horizontal).
Passo 3
Agora resolvemos a parte (b): “posição após ter percorrido a distância
sobre a curva”.
Primeiro precisamos relacionar distância percorrida (comprimento de arco) com o parâmetro
. A velocidade escalar (módulo da velocidade) é
Como
, isso simplifica para
Ou seja, o móvel tem velocidade escalar constante igual a
. Isso facilita muito o cálculo do comprimento de arco.
O comprimento de arco (distância percorrida) entre
e um tempo
é
Essa fórmula vale para qualquer
real; note que se
for negativo,
será negativo — isso corresponde a percorrer a curva no sentido contrário (daí o “sinal” negativo do valor dado).
O enunciado pede que o móvel tenha percorrido a distância
. Simplificando,
Igualando
a esse valor:
Agora basta avaliar a posição
em
. Calcule
e as trigonométricas:
Usando identidades:
Portanto
Interpretação leve: o número negativo de unidades de arco apenas diz que o móvel voltou “no sentido contrário” até o ponto com coordenadas
.
Passo 4
Parte (c): apresentar outra parametrização para a mesma curva.
Observação geométrica rápida (para justificar a parametrização): os dois primeiros componentes
descrevem uma circunferência de raio
no plano
, com ângulo
. Uma forma natural de reparametrizar é usar diretamente o ângulo
como parâmetro.
Definimos um novo parâmetro
. Então uma outra parametrização é
Essa é uma reparametrização simples: basta tomar
. Além disso, se quiser a parametrização por comprimento de arco (onde a velocidade escalar fica igual a
), note que o comprimento de arco coincide com o ângulo
(porque raio
), então podemos chamar
e escrever a parametrização pelo comprimento de arco:
que tem
. Essa é outra parametrização muito útil (é a param. por arco).
Passo 5
Parte (d): representar a trajetória em
e marcar alguns vetores tangentes.
Descrição geométrica (como desenhar mentalmente ou no papel):
- A trajetória é a circunferência de raio
centrada na origem do plano , porém deslocada no eixo para . Ou seja, é a curva
- No espaço isso é um círculo horizontal paralelo ao plano
, situado no plano .
Vetores tangentes: o vetor velocidade
aponta sempre tangente à circunferência e tem magnitude
. O vetor tangente unitário (direção) é
Alguns exemplos concretos (para marcar no desenho, escolha estes pontos e desenhe vetores tangentes com origem nesses pontos):
- Em
: ponto . Vetor velocidade . Vetor tangente unitário . No desenho: no ponto o vetor tangente aponta no sentido positivo de . - Em
: calcule . Ponto . Vetor velocidade . Vetor tangente unitário . No desenho: no ponto o vetor tangente aponta no sentido negativo de . - Em
: ponto . Vetor velocidade . Vetor tangente unitário . - Em
(o ponto da parte b): ponto (como já achamos). Vetor velocidade e .
Dica prática para desenhar: desenhe um círculo de raio
no plano
, marque os pontos acima e rabisque setas tangentes (horizontais) conforme os vetores
listados; as setas têm comprimento proporcional a
(ou desenhe os vetores unitários
para apenas indicar direção).
Resposta
(a)
(b)
(c) Uma outra parametrização é
(tomando
). Em particular, a parametrização por comprimento de arco é
.
(d) A trajetória é o círculo
. Vetores tangentes (ex.: em
:
; em
:
; em
:
).