Seja V(t)=(\cos (3 t), \operatorname{sen}(3 t), 2) uma função vetorial. Se V representa a trajetória de um móvel com posição inicial em t=0 :
a) Determine os seus vetores velocidade e aceleração em t=\pi / 3;
b) Em qual posição o móvel se encontra após ter percorrido uma distância de - 9 \pi / 6 unidades sobre a curva?
c) Apresente outra parametrização para a curva percorrida pelo móvel;
d) Represente a trajetória do móvel em R^{3} e marque sobre ela alguns vetores tangentes.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial de posição
V(t)=\bigl(\cos(3t),\;\sin(3t),\;2\bigr)
com posição inicial em t=0. Ele pede quatro coisas:
  • (a) determinar os vetores velocidade e aceleração no instante t=\pi/3;
  • (b) determinar a posição do móvel após ter percorrido a distância -9\pi/6 ao longo da curva (note o sinal negativo);
  • (c) apresentar outra parametrização da mesma curva percorrida pelo móvel;
  • (d) representar a trajetória em \mathbb{R}^3 e indicar alguns vetores tangentes sobre ela.
Informações relevantes fornecidas:
  • A posição está dada por V(t) acima.
  • A constante no terceiro componente é 2, então a curva está contida no plano z=2.
  • O móvel parte de t=0, portanto a posição inicial é V(0)=\bigl(\cos 0,\sin 0,2\bigr)=(1,0,2).

Passo 2

Primeiro vamos achar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) de forma geral — isso é básico, porque velocidade é derivada da posição e aceleração é derivada da velocidade.
Regra usada (cadeia e derivada componente a componente):
  • Se \;V(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr), então \;v(t)=V'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr) e \;a(t)=v'(t)=V''(t).
Aplicando componente a componente a \;V(t)=\bigl(\cos(3t),\sin(3t),2\bigr):
  • Derivada de \cos(3t): use a regra da cadeia. Derivada de \cos(u) é -\sin(u) e derivada de u=3t é 3. Logo
\frac{d}{dt}\cos(3t) = -3\sin(3t).
  • Derivada de \sin(3t): análogo,
\frac{d}{dt}\sin(3t) = 3\cos(3t).
  • Derivada de 2 é 0.
Portanto a velocidade geral é
v(t)=V'(t)=\bigl(-3\sin(3t),\;3\cos(3t),\;0\bigr).
Agora a aceleração é a derivada de v(t). Derivando componente a componente:
  • Derivada de -3\sin(3t): -3 vezes derivada de \sin(3t) que é 3\cos(3t), então dá -3\cdot 3\cos(3t)=-9\cos(3t).
  • Derivada de 3\cos(3t): 3 vezes derivada de \cos(3t) que é -3\sin(3t), então dá 3\cdot(-3\sin(3t))=-9\sin(3t).
  • Derivada de 0 é 0.
Assim
a(t)=V''(t)=\bigl(-9\cos(3t),\;-9\sin(3t),\;0\bigr).
Agora avaliamos em t=\pi/3. Calcule primeiro 3t em t=\pi/3:
3t=3\cdot\frac{\pi}{3}=\pi.
Conhecendo as razões trigonométricas:
\cos\pi=-1,\qquad \sin\pi=0.
Substituindo nas fórmulas:
  • Velocidade em t=\pi/3:
v\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\bigl(-3\sin\pi,\;3\cos\pi,\;0\bigr)=\bigl(0,\;-3,\;0\bigr).
  • Aceleração em t=\pi/3:
a\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\bigl(-9\cos\pi,\;-9\sin\pi,\;0\bigr)=\bigl(9,\;0,\;0\bigr).
Interpretação curta (didática): o vetor velocidade aponta tangente à curva e é horizontal (terceira componente zero). A aceleração aqui aponta radialmente para fora/para dentro no plano da circunferência (também horizontal).

Passo 3

Agora resolvemos a parte (b): “posição após ter percorrido a distância -9\pi/6 sobre a curva”.
Primeiro precisamos relacionar distância percorrida (comprimento de arco) com o parâmetro t. A velocidade escalar (módulo da velocidade) é
\|v(t)\|=\sqrt{(-3\sin(3t))^{2}+(3\cos(3t))^{2}+0^{2}}=\sqrt{9\sin^{2}(3t)+9\cos^{2}(3t)}.
Como \sin^{2}+\cos^{2}=1, isso simplifica para
\|v(t)\|=\sqrt{9}=3.
Ou seja, o móvel tem velocidade escalar constante igual a 3. Isso facilita muito o cálculo do comprimento de arco.
O comprimento de arco (distância percorrida) entre t=0 e um tempo t é
s(t)=\int_{0}^{t}\|v(u)\|\,du=\int_{0}^{t}3\,du=3t.
Essa fórmula vale para qualquer t real; note que se t for negativo, s(t) será negativo — isso corresponde a percorrer a curva no sentido contrário (daí o “sinal” negativo do valor dado).
O enunciado pede que o móvel tenha percorrido a distância s=-\tfrac{9\pi}{6}. Simplificando,
-\frac{9\pi}{6}=-\frac{3\pi}{2}.
Igualando s=3t a esse valor:
3t=-\frac{3\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad t=-\frac{\pi}{2}.
Agora basta avaliar a posição V(t) em t=-\pi/2. Calcule 3t e as trigonométricas:
3t=3\cdot\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\tfrac{3\pi}{2}.
Usando identidades:
\cos\!\bigl(-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0, \qquad \sin\!\bigl(-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)= -(-1)=1.
Portanto
V\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=\bigl(0,\;1,\;2\bigr).
Interpretação leve: o número negativo de unidades de arco apenas diz que o móvel voltou “no sentido contrário” até o ponto com coordenadas (0,1,2).

Passo 4

Parte (c): apresentar outra parametrização para a mesma curva.
Observação geométrica rápida (para justificar a parametrização): os dois primeiros componentes \bigl(\cos(3t),\sin(3t)\bigr) descrevem uma circunferência de raio 1 no plano z=2, com ângulo \theta=3t. Uma forma natural de reparametrizar é usar diretamente o ângulo \theta como parâmetro.
Definimos um novo parâmetro \theta=3t. Então uma outra parametrização é
W(\theta)=\bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;2\bigr),\qquad \theta\in\mathbb{R}.
Essa é uma reparametrização simples: basta tomar \theta=3t. Além disso, se quiser a parametrização por comprimento de arco (onde a velocidade escalar fica igual a 1), note que o comprimento de arco coincide com o ângulo \theta (porque raio 1), então podemos chamar s=\theta e escrever a parametrização pelo comprimento de arco:
r(s)=\bigl(\cos s,\;\sin s,\;2\bigr),\qquad s\in\mathbb{R},
que tem \|r'(s)\|=1. Essa é outra parametrização muito útil (é a param. por arco).

Passo 5

Parte (d): representar a trajetória em \mathbb{R}^3 e marcar alguns vetores tangentes.
Descrição geométrica (como desenhar mentalmente ou no papel):
  • A trajetória é a circunferência de raio 1 centrada na origem do plano xy, porém deslocada no eixo z para z=2. Ou seja, é a curva
\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1,\; z=2\bigr\}.
  • No espaço isso é um círculo horizontal paralelo ao plano xy, situado no plano z=2.
Vetores tangentes: o vetor velocidade v(t) aponta sempre tangente à circunferência e tem magnitude 3. O vetor tangente unitário (direção) é
T(t)=\frac{v(t)}{\|v(t)\|}=\bigl(-\sin(3t),\;\cos(3t),\;0\bigr).
Alguns exemplos concretos (para marcar no desenho, escolha estes pontos e desenhe vetores tangentes com origem nesses pontos):
  • Em t=0: ponto V(0)=(1,0,2). Vetor velocidade v(0)=\bigl(0,3,0\bigr). Vetor tangente unitário T(0)=(0,1,0). No desenho: no ponto (1,0,2) o vetor tangente aponta no sentido positivo de y.
  • Em t=\pi/6: calcule 3t=\pi/2. Ponto V(\pi/6)=\bigl(\cos\tfrac{\pi}{2},\sin\tfrac{\pi}{2},2\bigr)=(0,1,2). Vetor velocidade v(\pi/6)=\bigl(-3,0,0\bigr). Vetor tangente unitário T(\pi/6)=(-1,0,0). No desenho: no ponto (0,1,2) o vetor tangente aponta no sentido negativo de x.
  • Em t=\pi/3: ponto V(\pi/3)=\bigl(\cos\pi,\sin\pi,2\bigr)=(-1,0,2). Vetor velocidade v(\pi/3)=(0,-3,0). Vetor tangente unitário T(\pi/3)=(0,-1,0).
  • Em t=-\pi/2 (o ponto da parte b): ponto V(-\pi/2)=(0,1,2) (como já achamos). Vetor velocidade v(-\pi/2)=(-3,0,0) e T(-\pi/2)=(-1,0,0).
Dica prática para desenhar: desenhe um círculo de raio 1 no plano z=2, marque os pontos acima e rabisque setas tangentes (horizontais) conforme os vetores v(t) listados; as setas têm comprimento proporcional a 3 (ou desenhe os vetores unitários T(t) para apenas indicar direção).

Resposta

(a) v\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\bigl(0,-3,0\bigr),\quad a\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\bigl(9,0,0\bigr)
(b) V\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\bigl(0,1,2\bigr)
(c) Uma outra parametrização é \;W(\theta)=\bigl(\cos\theta,\sin\theta,2\bigr) (tomando \theta=3t). Em particular, a parametrização por comprimento de arco é \;r(s)=\bigl(\cos s,\sin s,2\bigr).
(d) A trajetória é o círculo \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=1,\;z=2\}. Vetores tangentes (ex.: em t=0: v(0)=(0,3,0); em t=\pi/6: v(\pi/6)=(-3,0,0); em t=\pi/3: v(\pi/3)=(0,-3,0)).

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