(EXTRA - 1,0) Determine uma equação para a superfície de revolução \bar{S} obtida pela rotação da curva y . z=1 em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma equação para a superfície de revolução \bar{S} obtida ao girar a curva \,y z = 1 em torno do eixo y. Informações dadas:
  • A curva inicial é definida pela relação \,y z = 1.
  • A rotação é feita em torno do eixo y.
  • Deve-se encontrar uma equação que descreva todos os pontos (x,y,z) da superfície \bar{S}.

Passo 2

Primeiro vamos identificar onde está a curva geradora no espaço. A relação \,y z = 1 envolve só y e z, então a curva típica considerada para gerar a superfície fica no plano x=0 (plano yz). Podemos parametrizar essa curva usando um parâmetro \,t que represente a coordenada y:
y=t,\qquad z=\frac{1}{t},\qquad x=0,\qquad t\neq 0.
Explicação didática: escolhi t para representar y porque a equação \,y z=1 dá imediatamente z=1/y. Assim cada ponto da curva pode ser escrito como
P(t) = (0,\; t,\; 1/t).

Passo 3

Agora pense no que acontece ao girar esse ponto P(t) em torno do eixo y. Geometricamente, girar em torno do eixo y mantém a coordenada y igual e transforma a posição no plano perpendicular ao eixo (o plano xz) descrevendo um círculo de raio igual à distância do ponto original ao eixo y.
A distância do ponto P(t) ao eixo y é a distância no plano xz, que para P(t) é |z|=|1/t| (porque x=0 inicialmente). Logo, ao girar P(t) por todo ângulo \theta, os pontos resultantes satisfazem
\sqrt{x^{2}+z^{2}}=\frac{1}{|t|}, \qquad y=t.
Explicação didática: a expressão \sqrt{x^{2}+z^{2}} mede o raio (distância ao eixo y); ao girar um ponto que estava à distância |1/t|, todos os pontos do círculo gerado terão essa mesma distância.

Passo 4

Vamos agora escrever uma parametrização completa da superfície usando \,t\) (para controlar a altura \(y\)) e \(\theta\) (o ângulo de rotação): \[\begin{cases} x(t,\theta)=\dfrac{1}{t}\sin\theta,\\[6pt] y(t,\theta)=t,\\[6pt] z(t,\theta)=\dfrac{1}{t}\cos\theta, \end{cases} \qquad t\neq 0,\\ \theta\in[0,2\pi).
Verificação rápida: para \theta=0\] obtemos \((0,t,1/t), que é o ponto gerador original; variando \theta descrevemos o círculo de raio 1/|t| à altura y=t.]

Passo 5

Agora vamos eliminar os parâmetros para obter uma equação implícita em x,y,z. Das componentes da parametrização temos
x^{2}+z^{2}=\left(\frac{1}{t}\right)^{2}\big(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\big)=\frac{1}{t^{2}}.
Como y=t, substituindo t=y obtemos
x^{2}+z^{2}=\frac{1}{y^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por y^{2} (lembrando que y\neq 0) chega-se à forma mais compacta
y^{2}\big(x^{2}+z^{2}\big)=1.
Explicação didática: eliminamos \theta usando a identidade trigonométrica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1, e substituímos t por y porque a rotação conserva a coordenada y.

Passo 6

Observações finais úteis para a prova:
  • A equação implícita da superfície de revolução é \,y^{2}(x^{2}+z^{2})=1 com \,y\neq 0. O caso y=0 não pertence porque a curva inicial não tem ponto com y=0.
  • Alternativamente pode-se escrever \,x^{2}+z^{2}=1/y^{2}, que deixa explícito que, para cada altura y, a seção reta perpendicular ao eixo y é um círculo de raio 1/|y|.
  • Parametrização útil para cálculos posteriores (por exemplo, área ou elementos de superfície) é a dada no Passo 4.

Resposta

y^{2}\big(x^{2}+z^{2}\big)=1,\qquad y\neq 0

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