(EXTRA - 1,0) Determine uma equação para a superfície de revolução
obtida pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma equação para a superfície de revolução
obtida ao girar a curva
em torno do eixo
. Informações dadas:
- A curva inicial é definida pela relação
. - A rotação é feita em torno do eixo
. - Deve-se encontrar uma equação que descreva todos os pontos
da superfície .
Passo 2
Primeiro vamos identificar onde está a curva geradora no espaço. A relação
envolve só
e
, então a curva típica considerada para gerar a superfície fica no plano
(plano
). Podemos parametrizar essa curva usando um parâmetro
que represente a coordenada
:
Explicação didática: escolhi
para representar
porque a equação
dá imediatamente
. Assim cada ponto da curva pode ser escrito como
Passo 3
Agora pense no que acontece ao girar esse ponto
em torno do eixo
. Geometricamente, girar em torno do eixo
mantém a coordenada
igual e transforma a posição no plano perpendicular ao eixo (o plano
) descrevendo um círculo de raio igual à distância do ponto original ao eixo
.
A distância do ponto
ao eixo
é a distância no plano
, que para
é
(porque
inicialmente). Logo, ao girar
por todo ângulo
, os pontos resultantes satisfazem
Explicação didática: a expressão
mede o raio (distância ao eixo
); ao girar um ponto que estava à distância
, todos os pontos do círculo gerado terão essa mesma distância.
Passo 4
Vamos agora escrever uma parametrização completa da superfície usando
Verificação rápida: para
, que é o ponto gerador original; variando
descrevemos o círculo de raio
à altura
.]
Passo 5
Agora vamos eliminar os parâmetros para obter uma equação implícita em
. Das componentes da parametrização temos
Como
, substituindo
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
) chega-se à forma mais compacta
Explicação didática: eliminamos
usando a identidade trigonométrica
, e substituímos
por
porque a rotação conserva a coordenada
.
Passo 6
Observações finais úteis para a prova:
- A equação implícita da superfície de revolução é
com . O caso não pertence porque a curva inicial não tem ponto com . - Alternativamente pode-se escrever
, que deixa explícito que, para cada altura , a seção reta perpendicular ao eixo é um círculo de raio . - Parametrização útil para cálculos posteriores (por exemplo, área ou elementos de superfície) é a dada no Passo 4.