Encontre o domínio das funções abaixo:
d)
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Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio dessa função (ou seja, o conjunto de todos os números reais
nos quais
está bem definida).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função tem uma raiz de índice
(quarta raiz) no denominador: . - Para a expressão completa ser válida como número real, duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente:
- O radicando
deve permitir a raiz de índice par; - O denominador não pode ser zero.
- O radicando
Passo 2
Relembrando as condições para cada ponto (aqui explico didaticamente como aplicar no exercício):
- Para uma raiz de índice par (como a quarta raiz) ser um número real, o radicando precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, devemos ter
Explicação curta: raízes pares de números negativos não são reais, então o radicando não pode ser negativo.
- Além disso, a expressão está no denominador. Um denominador não pode ser zero, então a parte que está dentro da raiz não pode resultar em zero depois de aplicada a raiz. Como a quarta raiz de zero é zero, precisamos excluir o caso em que o radicando é exatamente zero. Portanto a condição forte é
Ou seja, combinando as duas ideias: radicando deve ser não negativo e, por estar no denominador, estritamente positivo.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
Primeiro fatoramos o polinômio:
Então a desigualdade fica
Passo 4
Resolver
por análise de sinais (método prático e muito usado em provas):
-
Os pontos críticos (zeros dos fatores) são
e . Esses valores dividem a reta real em três intervalos: , e . -
Escolhe-se um valor de teste em cada intervalo e verifica-se o sinal de
: -
Para
, por exemplo : e , então porque negativo vezes negativo é positivo. Logo todo o intervalo satisfaz a desigualdade. -
Para
, por exemplo : e , então o produto é negativo. Logo todo o intervalo não satisfaz a desigualdade. -
Para
, por exemplo : e , produto positivo. Logo todo o intervalo satisfaz.
-
-
Nos pontos
e o produto é zero, mas lembrando que nossa desigualdade é estrita , então esses pontos são excluídos.
Portanto a solução da desigualdade é
Passo 5
Interpretação final e checagens rápidas (para você fazer na prova sem medo):
-
Para qualquer
em ou , o radicando é positivo, a quarta raiz existe como número real e é diferente de zero, então o denominador é um número real não nulo e está bem definida. -
Para
(incluindo e ), ou o radicando é negativo (caso ) — raiz inexistente em R — ou é zero (caso ou ) — denominador zero — ambos proibidos.
Dica prática para a prova: sempre verifique “paridade da raiz” (par → radicando ≥ 0; ímpar → radicando pode ser qualquer real) e “denominador ≠ 0” quando houver fração.