Encontre o domínio das funções abaixo:
d) h(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2}-x}}

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2}-x}} e pede o domínio dessa função (ou seja, o conjunto de todos os números reais x nos quais h(x) está bem definida).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função tem uma raiz de índice 4 (quarta raiz) no denominador: \sqrt[4]{x^{2}-x}.
  • Para a expressão completa ser válida como número real, duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente:
    1. O radicando x^{2}-x deve permitir a raiz de índice par;
    2. O denominador não pode ser zero.

Passo 2

Relembrando as condições para cada ponto (aqui explico didaticamente como aplicar no exercício):
  • Para uma raiz de índice par (como a quarta raiz) ser um número real, o radicando precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, devemos ter
x^{2}-x \ge 0.
Explicação curta: raízes pares de números negativos não são reais, então o radicando não pode ser negativo.
  • Além disso, a expressão está no denominador. Um denominador não pode ser zero, então a parte que está dentro da raiz não pode resultar em zero depois de aplicada a raiz. Como a quarta raiz de zero é zero, precisamos excluir o caso em que o radicando é exatamente zero. Portanto a condição forte é
x^{2}-x > 0.
Ou seja, combinando as duas ideias: radicando deve ser não negativo e, por estar no denominador, estritamente positivo.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade
x^{2}-x>0.
Primeiro fatoramos o polinômio:
x^{2}-x = x(x-1).
Então a desigualdade fica
x(x-1)>0.

Passo 4

Resolver x(x-1)>0 por análise de sinais (método prático e muito usado em provas):
  • Os pontos críticos (zeros dos fatores) são x=0 e x=1. Esses valores dividem a reta real em três intervalos: (-\infty,0), (0,1) e (1,\infty).
  • Escolhe-se um valor de teste em cada intervalo e verifica-se o sinal de x(x-1):
    • Para x\in(-\infty,0), por exemplo x=-1: x<0 e x-1<0, então x(x-1)>0 porque negativo vezes negativo é positivo. Logo todo o intervalo (-\infty,0) satisfaz a desigualdade.
    • Para x\in(0,1), por exemplo x=\tfrac{1}{2}: x>0 e x-1<0, então o produto é negativo. Logo todo o intervalo (0,1) não satisfaz a desigualdade.
    • Para x\in(1,\infty), por exemplo x=2: x>0 e x-1>0, produto positivo. Logo todo o intervalo (1,\infty) satisfaz.
  • Nos pontos x=0 e x=1 o produto é zero, mas lembrando que nossa desigualdade é estrita >\,0, então esses pontos são excluídos.
Portanto a solução da desigualdade é
x\in(-\infty,0)\cup(1,\infty).

Passo 5

Interpretação final e checagens rápidas (para você fazer na prova sem medo):
  • Para qualquer x em (-\infty,0) ou (1,\infty), o radicando x^{2}-x é positivo, a quarta raiz existe como número real e é diferente de zero, então o denominador é um número real não nulo e \dfrac{1}{\sqrt[4]{x^{2}-x}} está bem definida.
  • Para x\in[0,1] (incluindo 0 e 1), ou o radicando é negativo (caso 0<x<1) — raiz inexistente em R — ou é zero (caso x=0 ou x=1) — denominador zero — ambos proibidos.
Dica prática para a prova: sempre verifique “paridade da raiz” (par → radicando ≥ 0; ímpar → radicando pode ser qualquer real) e “denominador ≠ 0” quando houver fração.

Resposta

(-\infty,0)\cup(1,\infty)

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