Encontre o domínio das funções abaixo:
a) f(x)=\frac{x}{3 x-2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função
f(x)=\frac{x}{3x-2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é uma fração (racional) cujo numerador é x e o denominador é 3x-2.
  • Precisa-se determinar todos os valores de x para os quais a expressão está bem definida.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui?
Domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (está definida). Para uma fração do tipo \dfrac{\text{algo}}{\text{denominador}} existe uma regra simples e absoluta: o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida. Uma forma simples de ver por que é indefinida: não existe número real y tal que 0\cdot y dê um número diferente de zero, então não faz sentido pedir "quanto é \tfrac{1}{0}".
Portanto, para funções racionais como a nossa, o domínio é “todos os reais, exceto os x que zeram o denominador”.

Passo 3

Aplique a regra: requeremos que o denominador seja diferente de zero. Escrevemos a condição
3x-2 \neq 0.
Para encontrar quais x devem ser excluídos, resolvemos a igualdade correspondente:
3x-2=0.

Passo 4

Resolver a equação linear passo a passo:
3x-2=0
adicione 2 em ambos os lados:
3x=2
divida ambos os lados por 3:
x=\frac{2}{3}.
Esse é o valor de x que torna o denominador zero, logo deve ser excluído do domínio.

Passo 5

Conclusão e representações do domínio. O domínio é todo o conjunto dos números reais com exceção de x=\dfrac{2}{3}. Em notações comuns isso pode ser escrito como
\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{2}{3}\right\}
ou em notação de intervalos:
\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\cup\left(\frac{2}{3},\infty\right).
Dica rápida para a prova: ao ver uma função com divisão, já olhe para o denominador e ponha a condição “denominador ≠ 0”; se houver raízes pares (como \sqrt{\,}), lembre-se também de exige-las não-negativas.

Resposta

\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\cup\left(\frac{2}{3},\infty\right)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{2}{3}\right\}

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