Encontre o domínio das funções abaixo:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio da função racional
definida por
Informações dadas:
- A função é uma fração cujo numerador é
. - O denominador é
. - Precisamos determinar para quais valores de
a expressão está bem definida (ou seja, quais são permitidos no domínio).
Passo 2
Regra básica importante (explicação didática): para uma função dada por uma fração
, a expressão só é proibida quando o denominador se anula, porque divisão por zero não é definida. Então, para encontrar o domínio de uma função racional, devemos:
- Resolver a equação
. - Excluir as raízes encontradas do conjunto dos números reais.
Vou aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Encontrar onde o denominador se anula: resolver
Para resolver esse polinômio do segundo grau, fatoramos quando possível. Procura-se dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja
(coeficiente de
). Esses números são
e
. Portanto:
Passo 4
As raízes do denominador são obtidas impondo cada fator igual a zero:
Isso significa que para
ou
o denominador vale zero, logo a função não está definida nesses pontos.
Passo 5
Verificação de cancelamento (por segurança): às vezes o numerador e o denominador têm um fator comum e a expressão pode simplificar, tornando o ponto removível. Aqui o numerador é
. Se houvesse cancelamento,
teria que ser proporcional a
ou
. Resolver
dá
, que não é nem
nem
. Portanto não há fator comum e não existe simplificação que torne esses pontos permitidos. Assim, as únicas proibições no domínio são exatamente
e
.
Passo 6
Conclusão prática: o domínio é o conjunto dos números reais excluindo
e
. Em notação de conjunto e em notação de intervalos: