Encontre o domínio das funções abaixo:
c) g(x)=\frac{5 x+4}{x^{2}+3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função racional g definida por
g(x)=\frac{5x+4}{x^{2}+3x+2}.
Informações dadas:
  • A função é uma fração cujo numerador é 5x+4.
  • O denominador é x^{2}+3x+2.
  • Precisamos determinar para quais valores de x a expressão está bem definida (ou seja, quais x são permitidos no domínio).

Passo 2

Regra básica importante (explicação didática): para uma função dada por uma fração \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}, a expressão só é proibida quando o denominador se anula, porque divisão por zero não é definida. Então, para encontrar o domínio de uma função racional, devemos:
  1. Resolver a equação \text{denominador}=0.
  2. Excluir as raízes encontradas do conjunto dos números reais.
    Vou aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Encontrar onde o denominador se anula: resolver
x^{2}+3x+2=0.
Para resolver esse polinômio do segundo grau, fatoramos quando possível. Procura-se dois números cujo produto seja 2 (termo constante) e cuja soma seja 3 (coeficiente de x). Esses números são 1 e 2. Portanto:
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).

Passo 4

As raízes do denominador são obtidas impondo cada fator igual a zero:
x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1,
x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2.
Isso significa que para x=-1 ou x=-2 o denominador vale zero, logo a função não está definida nesses pontos.

Passo 5

Verificação de cancelamento (por segurança): às vezes o numerador e o denominador têm um fator comum e a expressão pode simplificar, tornando o ponto removível. Aqui o numerador é 5x+4. Se houvesse cancelamento, 5x+4 teria que ser proporcional a (x+1) ou (x+2). Resolver 5x+4=0 x=-\tfrac{4}{5}, que não é nem -1 nem -2. Portanto não há fator comum e não existe simplificação que torne esses pontos permitidos. Assim, as únicas proibições no domínio são exatamente x=-2 e x=-1.

Passo 6

Conclusão prática: o domínio é o conjunto dos números reais excluindo -2 e -1. Em notação de conjunto e em notação de intervalos:
\text{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{-2,-1\}
\text{Dom}(g)=(-\infty,-2)\cup(-2,-1)\cup(-1,\infty).

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{-2,-1\}

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