Encontre o volume da regiio delimitada superiormente pela superficie z=4-y^{2} e inferiormente pelo retiangulo R: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o volume da região que é limitada superiormente pela superfície z=4-y^{2} e cuja base (limite inferior, no plano z=0) é o retângulo
R:\\\ 0 \leq x \leq 1,\qquad 0 \leq y \leq 2.
Informações dadas importantes:
  • A superfície superior é z=4-y^{2}.
  • A base no plano z=0 é o retângulo R com as coordenadas dadas.
  • Para todo y em [0,2] tem-se 4-y^{2}\ge 0 (em y=2 vale zero), então a superfície fica acima do plano z=0 na região considerada.
    A pergunta é: qual é o volume do sólido entre a superfície z=4-y^{2} e o retângulo R no plano z=0?

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática): o volume de um sólido que tem como teto uma função z=f(x,y) não-negativa sobre uma região R do plano xy é dado pela integral dupla da altura f(x,y) sobre a área de R. Em palavras: somamos, para cada pedacinho de área dA em R, a altura f(x,y) acima desse pedacinho; isso dá o volume total. A fórmula é
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=4-y^{2} e dA representa um elemento infinitesimal de área no plano xy. Como R é um retângulo com limites simples, podemos escrever a integral dupla como iterada com limites constantes.

Passo 3

Montagem da integral iterada (escolha da ordem): como R é
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 2,
uma forma natural é integrar primeiro em x e depois em y. Assim
V=\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{1} (4-y^{2})\,dx\,dy.
Observação útil: a função 4-y^{2} não depende de x, então a integração em x fica bem simples.

Passo 4

Calcular a integral interna em x: como (4-y^{2}) é constante em relação a x,
\int_{x=0}^{1} (4-y^{2})\,dx = (4-y^{2})\int_{0}^{1} dx = (4-y^{2})\cdot(1-0) = 4-y^{2}.
Portanto a integral reduz-se a uma integral simples em y:
V=\int_{0}^{2} (4-y^{2})\,dy.

Passo 5

Calcular a integral em y passo a passo (antiderivadas explicadas): conhecendo as regras básicas de integração,
\int 4\,dy = 4y,\qquad \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
Aplicando isso,
\int_{0}^{2} (4-y^{2})\,dy = \left[4y-\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2}.
Agora avaliamos nos extremos:
\left.4y-\frac{y^{3}}{3}\right|_{y=2} = 4\cdot 2 - \frac{2^{3}}{3} = 8 - \frac{8}{3},
\left.4y-\frac{y^{3}}{3}\right|_{y=0} = 0.
Subtraindo,
V = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}.

Passo 6

Interpretação final e pequena verificação mental: o volume é positivo e tem valor \dfrac{16}{3}. Como a função não depende de x, poderia-se pensar que o volume é a altura média em y multiplicada pela largura em x; aqui largura em x é 1, então o resultado pela integral coincide com essa intuição. Segura aí: deu certo.

Resposta

\dfrac{16}{3}

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