Encontre o domínio das funções:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio das funções dadas (ou seja, todos os valores de
para os quais cada expressão está definida). As funções fornecidas são:
- (a)
. - (b)
. - (c)
. - (d)
. - (e)
.
Informações relevantes fornecidas (já estão nas expressões acima):
- Há logaritmos naturais
e um logaritmo na base . - Há radicais do tipo
. - Há uma raiz quadrada aninhada com um logaritmo em (b) e (d).
- Há valor absoluto e raiz quadrada em (c).
- Há uma razão de polinômios em (e).
Passo 2
Relembrando as condições básicas que vou usar (pegar isso como “receita” para a prova; é importante):
- Para
a condição é . Ou seja, o argumento do log natural tem de ser estritamente positivo. - Para
a condição é . Ou seja, o radicando não pode ser negativo. - Para
é preciso e, dependendo da base , a relação de sinais muda quando transformamos para : . Em particular, se então e . - Se houver
no denominador, exceto nos pontos onde o conteúdo é zero (esses pontos provocam divisão por zero e devem ser excluídos).
Vou aplicar essas regras função a função, com passos claros e testes de intervalo quando necessário.
Passo 3
(a)
.
Condição para existir: o argumento do log tem de ser positivo:
Resolvo:
Portanto todos os
menores que
funcionam. Em notação de intervalo, o domínio é
.
Passo 4
(b)
.
Aqui há duas condições combinadas:
- O logaritmo
precisa estar definido: . - O radicando da raiz quadrada precisa ser não negativo:
.
A segunda condição já implica a primeira (se
então
existe), então uso somente a segunda para achar o domínio:
Lembro que
(porque
e
é crescente). Assim:
Verifico a consistência com a condição
: para
temos
, logo tudo ok. Em particular
dá
e
, permitido.
Portanto o domínio é
.
Passo 5
(c)
.
Passos para as condições:
- A raiz
exige . - O denominador
não pode ser zero, então . - O argumento do log, isto é
, deve ser estritamente positivo:
Observe que
para todo
, então o sinal da fração é o mesmo do numerador
. Assim a condição (3) equivale a
Agora combino com as outras restrições:
- Da raiz temos
, mas já garante isso. - Excluo o ponto
porque aí o denominador zera. Como está dentro da região , preciso removê-lo.
Além disso, nos pontos
o numerador é zero (
), o que tornaria o argumento do log igual a zero, e
não está definido — por isso
também está excluído (mas já está fora porque exigimos
).
Conclusão: o domínio é todos os
tais que
exceto
. Em intervalos:
Passo 6
(d)
.
Primeiro, condição básica do log:
.
Segundo, o radicando da raiz quadrada deve ser não negativo:
Para manipular esse log uso a relação com o log natural:
Mas
. Então
Aplicando isso com
, a condição
vira
Agora
equivale a
(porque
e
é crescente). Assim
Também precisamos da condição
(argumento do log positivo), isto é
. Combinando:
Verifico extremos: se
então
e
e
está permitido; se
o argumento do log tende a
e
(ainda positivo), mas em
não é permitido porque
.
Portanto o domínio é
.
Passo 7
(e)
.
Primeiro fatoro o polinômio do numerador:
Então a expressão dentro do log é
Condições:
- Denominador não pode ser zero:
. - O argumento do log precisa ser estritamente positivo:
Faço uma análise de sinal usando os pontos críticos (raízes do numerador e raiz do denominador):
,
,
. Esses pontos dividem a reta em intervalos. Testo o sinal da fração em cada intervalo (ou uso regra dos sinais):
- Para
(ex.: ): é negativo, é negativo, produto do numerador é positivo; denominador é negativo; fração positiva/negativa = negativa. Logo não satisfaz. - Para
(ex.: ): negativo, positivo, produto numerador negativo; denominador negativo; fração negativa/negativa = positiva. Logo satisfaz. - Para
(ex.: ): negativo, positivo, produto numerador negativo; denominador positivo; fração negativa/positiva = negativa. Não satisfaz. - Para
(ex.: ): positivo, positivo, produto numerador positivo; denominador positivo; fração positiva/positiva = positiva. Satisfaz.
Além disso, nos pontos
ou
o numerador é zero, então a fração vale
e
não está definida; portanto esses pontos são excluídos. No ponto
a fração é indefinida por divisão por zero, então também excluído.
Assim os intervalos onde a fração é estritamente positiva são:
Portanto o domínio é
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)