Encontre o domínio das funções:
a) f(x)=\ln (2-x)
b) g(x)=\sqrt{\ln (2-x)}
c) f(x)=\ln \left(\frac{-2+\sqrt{x}}{|2 x-9|}\right)
d) h(x)=\sqrt{\log _{\frac{1}{e}}(2-x)}
e) p(x)=\ln \left(\frac{x^{2}-5 x-6}{x-3}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio das funções dadas (ou seja, todos os valores de x para os quais cada expressão está definida). As funções fornecidas são:
  • (a) f(x)=\ln(2-x).
  • (b) g(x)=\sqrt{\ln(2-x)}.
  • (c) f(x)=\ln\!\left(\dfrac{-2+\sqrt{x}}{|2x-9|}\right).
  • (d) h(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{e}}(2-x)}.
  • (e) p(x)=\ln\!\left(\dfrac{x^{2}-5x-6}{x-3}\right).
Informações relevantes fornecidas (já estão nas expressões acima):
  • Há logaritmos naturais \ln(\cdot) e um logaritmo na base \tfrac{1}{e}.
  • Há radicais do tipo \sqrt{\cdot}.
  • Há uma raiz quadrada aninhada com um logaritmo em (b) e (d).
  • Há valor absoluto e raiz quadrada em (c).
  • Há uma razão de polinômios em (e).

Passo 2

Relembrando as condições básicas que vou usar (pegar isso como “receita” para a prova; é importante):
  • Para \ln(A) a condição é A>0. Ou seja, o argumento do log natural tem de ser estritamente positivo.
  • Para \sqrt{B} a condição é B\ge 0. Ou seja, o radicando não pode ser negativo.
  • Para \log_a(B) é preciso B>0 e, dependendo da base a, a relação de sinais muda quando transformamos para \ln: \log_a(B)=\dfrac{\ln B}{\ln a}. Em particular, se 0<a<1 então \ln a<0 e \log_a(B)=\dfrac{\ln B}{\ln a}=-\dfrac{\ln B}{|\ln a|}.
  • Se houver |\cdot| no denominador, |\cdot|>0 exceto nos pontos onde o conteúdo é zero (esses pontos provocam divisão por zero e devem ser excluídos).
    Vou aplicar essas regras função a função, com passos claros e testes de intervalo quando necessário.

Passo 3

(a) f(x)=\ln(2-x).
Condição para existir: o argumento do log tem de ser positivo:
2-x>0.
Resolvo:
2-x>0 \iff -x>-2 \iff x<2.
Portanto todos os x menores que 2 funcionam. Em notação de intervalo, o domínio é (-\infty,2).

Passo 4

(b) g(x)=\sqrt{\ln(2-x)}.
Aqui há duas condições combinadas:
  1. O logaritmo \ln(2-x) precisa estar definido: 2-x>0.
  2. O radicando da raiz quadrada precisa ser não negativo: \ln(2-x)\ge 0.
A segunda condição já implica a primeira (se \ln(2-x)\ge0 então \ln(2-x) existe), então uso somente a segunda para achar o domínio:
\ln(2-x)\ge0.
Lembro que \ln y\ge0 \iff y\ge1 (porque \ln1=0 e \ln é crescente). Assim:
2-x\ge1 \iff -x\ge -1 \iff x\le1.
Verifico a consistência com a condição 2-x>0: para x\le1 temos 2-x\ge1>0, logo tudo ok. Em particular x=1 \ln1=0 e \sqrt{0}=0, permitido.
Portanto o domínio é (-\infty,1].

Passo 5

(c) f(x)=\ln\!\left(\dfrac{-2+\sqrt{x}}{|2x-9|}\right).
Passos para as condições:
  1. A raiz \sqrt{x} exige x\ge0.
  2. O denominador |2x-9| não pode ser zero, então 2x-9\neq0 \iff x\neq \dfrac{9}{2}.
  3. O argumento do log, isto é \dfrac{-2+\sqrt{x}}{|2x-9|}, deve ser estritamente positivo:
\frac{-2+\sqrt{x}}{|2x-9|}>0.
Observe que |2x-9|>0 para todo x\neq \tfrac{9}{2}, então o sinal da fração é o mesmo do numerador -2+\sqrt{x}. Assim a condição (3) equivale a
-2+\sqrt{x}>0 \iff \sqrt{x}>2 \iff x>4.
Agora combino com as outras restrições:
  • Da raiz temos x\ge0, mas x>4 já garante isso.
  • Excluo o ponto x=\tfrac{9}{2} porque aí o denominador zera. Como \tfrac{9}{2}=4{,}5 está dentro da região x>4, preciso removê-lo.
Além disso, nos pontos x=4 o numerador é zero ( \sqrt{4}=2\Rightarrow -2+2=0), o que tornaria o argumento do log igual a zero, e \ln(0) não está definido — por isso x=4 também está excluído (mas já está fora porque exigimos x>4).
Conclusão: o domínio é todos os x tais que x>4 exceto x=\tfrac{9}{2}. Em intervalos:
(4,\tfrac{9}{2})\cup(\tfrac{9}{2},\infty).

Passo 6

(d) h(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{e}}(2-x)}.
Primeiro, condição básica do log: 2-x>0 \iff x<2.
Segundo, o radicando da raiz quadrada deve ser não negativo:
\log_{\frac{1}{e}}(2-x)\ge 0.
Para manipular esse log uso a relação com o log natural:
\log_{\frac{1}{e}}(y)=\frac{\ln y}{\ln(\tfrac{1}{e})}.
Mas \ln(\tfrac{1}{e})=\ln 1 - \ln e = -1. Então
\log_{\frac{1}{e}}(y)=\frac{\ln y}{-1}=-\ln y.
Aplicando isso com y=2-x, a condição \log_{\frac{1}{e}}(2-x)\ge0 vira
-\ln(2-x)\ge0 \iff \ln(2-x)\le0.
Agora \ln(2-x)\le0 equivale a 2-x\le1 (porque \ln1=0 e \ln é crescente). Assim
2-x\le1 \iff -x\le-1 \iff x\ge1.
Também precisamos da condição 2-x>0 (argumento do log positivo), isto é x<2. Combinando:
1\le x<2.
Verifico extremos: se x=1 então 2-x=1 e \log_{\frac{1}{e}}1=0 e \sqrt{0}=0 está permitido; se x\to2^{-} o argumento do log tende a 0^{+} e \log_{\frac{1}{e}}(2-x)\to +\infty (ainda positivo), mas em x=2 não é permitido porque 2-x=0.
Portanto o domínio é [1,2).

Passo 7

(e) p(x)=\ln\!\left(\dfrac{x^{2}-5x-6}{x-3}\right).
Primeiro fatoro o polinômio do numerador:
x^{2}-5x-6=(x-6)(x+1).
Então a expressão dentro do log é
\frac{(x-6)(x+1)}{x-3}.
Condições:
  • Denominador não pode ser zero: x\neq3.
  • O argumento do log precisa ser estritamente positivo:
\frac{(x-6)(x+1)}{x-3}>0.
Faço uma análise de sinal usando os pontos críticos (raízes do numerador e raiz do denominador): x=-1, x=3, x=6. Esses pontos dividem a reta em intervalos. Testo o sinal da fração em cada intervalo (ou uso regra dos sinais):
  • Para x<-1 (ex.: x=-2): (x-6) é negativo, (x+1) é negativo, produto do numerador é positivo; denominador (x-3) é negativo; fração positiva/negativa = negativa. Logo não satisfaz.
  • Para -1<x<3 (ex.: x=0): (x-6) negativo, (x+1) positivo, produto numerador negativo; denominador (x-3) negativo; fração negativa/negativa = positiva. Logo satisfaz.
  • Para 3<x<6 (ex.: x=4): (x-6) negativo, (x+1) positivo, produto numerador negativo; denominador (x-3) positivo; fração negativa/positiva = negativa. Não satisfaz.
  • Para x>6 (ex.: x=7): (x-6) positivo, (x+1) positivo, produto numerador positivo; denominador (x-3) positivo; fração positiva/positiva = positiva. Satisfaz.
Além disso, nos pontos x=-1 ou x=6 o numerador é zero, então a fração vale 0 e \ln(0) não está definida; portanto esses pontos são excluídos. No ponto x=3 a fração é indefinida por divisão por zero, então também excluído.
Assim os intervalos onde a fração é estritamente positiva são:
(-1,3)\quad\text{e}\quad(6,\infty).
Portanto o domínio é (-1,3)\cup(6,\infty).

Resposta

(a) (-\infty,2)
(b) (-\infty,1]
(c) (4,\tfrac{9}{2})\cup(\tfrac{9}{2},\infty)
(d) [1,2)
(e) (-1,3)\cup(6,\infty)

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