Construir o gráfico das funções a seguir, determine domínio e imagem:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede para construir o gráfico da função
e determinar domínio e imagem. - A função dada é
. - Informação importante que vem da própria forma da função:
- A presença da raiz quadrada exige que o radicando seja maior ou igual a zero, isto é, temos a condição
. - A raiz quadrada real produz sempre valores não-negativos, ou seja,
para todo do domínio.
- A presença da raiz quadrada exige que o radicando seja maior ou igual a zero, isto é, temos a condição
Passo 2
Determinar o domínio usando a condição do radicando:
- Começar com a desigualdade
- Isolar
: subtrai-se de ambos os lados
- Divide-se por
. Lembre-se: ao dividir por número negativo a desigualdade inverte-se.
- Portanto o domínio é todos os
tais que . Em notação de intervalo:
Passo 3
Determinar a imagem (range) usando propriedades da raiz e o domínio:
- A raiz quadrada retorna valores
, então para todo no domínio. - Verificar se
é atingido: calcular :
Portanto
pertence à imagem.
- Verificar se há um limite superior finito para
. Para temos , logo . Assim não existe teto superior; os valores crescem sem limite quando vai para . - Portanto a imagem é todos os números reais não-negativos:
Passo 4
Encontrar interceptos e alguns pontos úteis para esboçar o gráfico:
- Raiz (interseção com o eixo
): resolver
Ponto:
.
- Interseção com o eixo
(tomando ):
Ponto:
.
- Alguns pontos adicionais (calculei substituindo
na expressão):
- Use esses pontos para marcar no papel:
, , , , . Eles mostram que ao ir para a esquerda a função sobe.
Passo 5
Determinar monotonicidade (para saber a direção do ramo do gráfico):
- Calcular a derivada (regra da cadeia). Para
,
- Para todo
no domínio temos (exceto em onde é zero e a derivada tende a ), portanto para . Logo é estritamente decrescente no intervalo . - Interpretação prática: começando em
com e indo para a esquerda o valor de aumenta continuamente.
Passo 6
Entender o gráfico pela transformação da função raiz padrão (dica prática para a prova):
- Função base:
com domínio , ramo que cresce para a direita. - Para obter
define-se . Isso corresponde a três transformações aplicadas a : - Multiplicação do argumento por
: isso inverte horizontalmente e estica/comprime (o sinal negativo reflete horizontalmente). - Soma de
no argumento (ou pensar como deslocado): resulta num deslocamento horizontal. Uma maneira simples de visualizar: a transformação que leva em pode ser vista como primeiro refletir sobre o eixo (passando de para ), depois deslocar 3 unidades para a direita (obter ) e por fim escalar verticalmente por fator se quiser a forma .
- Multiplicação do argumento por
- Resultado prático: o ramo começa em
com valor e vai para a esquerda subindo sem limite.
Passo 7
Como esboçar o gráfico em 5 passos rápidos na hora da prova:
- Marque o ponto de início
— único ponto onde é zero. - Marque o ponto
para ter escala vertical. - Marque mais um ou dois pontos (
), ( ) para confirmar curvatura. - Ligue os pontos por uma curva suave que é decrescente e que sobe indefinidamente quando vai para a esquerda.
- Indique que o domínio é
e que a imagem é .
Passo 8
Resumo final (o que levar pra prova):
- Domínio:
. - Imagem: todos os valores reais não-negativos.
- A curva é um ramo de raiz quadrada começando em
, decrescente para a esquerda e sem limite superior quando .