Construir o gráfico das funções a seguir, determine domínio e imagem:
g(x)=\sqrt{9-3 x}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede para construir o gráfico da função g e determinar domínio e imagem.
  • A função dada é g(x)=\sqrt{9-3x}.
  • Informação importante que vem da própria forma da função:
    • A presença da raiz quadrada exige que o radicando seja maior ou igual a zero, isto é, temos a condição 9-3x \ge 0.
    • A raiz quadrada real produz sempre valores não-negativos, ou seja, g(x)\ge 0 para todo x do domínio.

Passo 2

Determinar o domínio usando a condição do radicando:
  • Começar com a desigualdade
9-3x \ge 0.
  • Isolar x: subtrai-se 9 de ambos os lados
-3x \ge -9.
  • Divide-se por -3. Lembre-se: ao dividir por número negativo a desigualdade inverte-se.
x \le 3.
  • Portanto o domínio é todos os x tais que x \le 3. Em notação de intervalo:
\text{dom}(g)=(-\infty,\,3].

Passo 3

Determinar a imagem (range) usando propriedades da raiz e o domínio:
  • A raiz quadrada retorna valores \ge 0, então g(x)\ge 0 para todo x no domínio.
  • Verificar se 0 é atingido: calcular g(3):
g(3)=\sqrt{9-3\cdot3}=\sqrt{9-9}=\sqrt{0}=0.
Portanto 0 pertence à imagem.
  • Verificar se há um limite superior finito para g(x). Para x\to -\infty temos 9-3x\to +\infty, logo \sqrt{9-3x}\to +\infty. Assim não existe teto superior; os valores crescem sem limite quando x vai para -\infty.
  • Portanto a imagem é todos os números reais não-negativos:
\text{Im}(g)=[0,\,+\infty).

Passo 4

Encontrar interceptos e alguns pontos úteis para esboçar o gráfico:
  • Raiz (interseção com o eixo x): resolver g(x)=0
\sqrt{9-3x}=0 \quad\Rightarrow\quad 9-3x=0 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Ponto: (3,0).
  • Interseção com o eixo y (tomando x=0):
g(0)=\sqrt{9}=3.
Ponto: (0,3).
  • Alguns pontos adicionais (calculei substituindo x na expressão):
g(2)=\sqrt{9-6}=\sqrt{3}\approx 1{,}732,
g(1)=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}\approx 2{,}449,
g(-1)=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3{,}464,
g(-6)=\sqrt{9+18}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\approx 5{,}196.
  • Use esses pontos para marcar no papel: (3,0), (2,\sqrt{3}), (0,3), (-1,2\sqrt{3}), (-6,3\sqrt{3}). Eles mostram que ao ir para a esquerda a função sobe.

Passo 5

Determinar monotonicidade (para saber a direção do ramo do gráfico):
  • Calcular a derivada (regra da cadeia). Para g(x)=\sqrt{9-3x}=(9-3x)^{1/2},
g'(x)=\tfrac{1}{2}(9-3x)^{-1/2}\cdot(-3)= -\frac{3}{2\sqrt{9-3x}}.
  • Para todo x no domínio temos \sqrt{9-3x}>0 (exceto em x=3 onde é zero e a derivada tende a -\infty), portanto g'(x)<0 para x<3. Logo g é estritamente decrescente no intervalo (-\infty,3).
  • Interpretação prática: começando em x=3 com g(3)=0 e indo para a esquerda o valor de g aumenta continuamente.

Passo 6

Entender o gráfico pela transformação da função raiz padrão (dica prática para a prova):
  • Função base: f(t)=\sqrt{t} com domínio t\ge 0, ramo que cresce para a direita.
  • Para obter g define-se t=9-3x. Isso corresponde a três transformações aplicadas a f:
    1. Multiplicação do argumento por -3: isso inverte horizontalmente e estica/comprime (o sinal negativo reflete horizontalmente).
    2. Soma de +9 no argumento (ou pensar como x deslocado): resulta num deslocamento horizontal. Uma maneira simples de visualizar: a transformação que leva f em g pode ser vista como primeiro refletir f sobre o eixo y (passando de \sqrt{x} para \sqrt{-x}), depois deslocar 3 unidades para a direita (obter \sqrt{3-x}) e por fim escalar verticalmente por fator \sqrt{3} se quiser a forma \sqrt{9-3x}=\sqrt{3}\,\sqrt{3-x}.
  • Resultado prático: o ramo começa em x=3 com valor 0 e vai para a esquerda subindo sem limite.

Passo 7

Como esboçar o gráfico em 5 passos rápidos na hora da prova:
  1. Marque o ponto de início (3,0) — único ponto onde g é zero.
  2. Marque o ponto (0,3) para ter escala vertical.
  3. Marque mais um ou dois pontos ( 2,\sqrt{3}), ( -1,2\sqrt{3}) para confirmar curvatura.
  4. Ligue os pontos por uma curva suave que é decrescente e que sobe indefinidamente quando vai para a esquerda.
  5. Indique que o domínio é (-\infty,3] e que a imagem é [0,\infty).

Passo 8

Resumo final (o que levar pra prova):
  • Domínio: x\le 3.
  • Imagem: todos os valores reais não-negativos.
  • A curva é um ramo de raiz quadrada começando em (3,0), decrescente para a esquerda e sem limite superior quando x\to -\infty.

Resposta

\text{dom}(g)=(-\infty,\,3]
\text{Im}(g)=[0,\,\infty)

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