Encontre o domínio e a imagem de cada uma das relações abaixo:
R=(x, y) in N^2 ; x mid y

Passo 1

O enunciado define a relação
R = (x,y)inN^2 mid xmid y,
ou seja, R é o conjunto de pares de números naturais em que o primeiro elemento divide o segundo. Precisamos encontrar
– o domínio de R, que é o conjunto de todos os xinN tais que existe pelo menos um y com (x,y)in R;
– a imagem (ou contra-domínio efetivo) de R, que é o conjunto de todos os yinN tais que existe pelo menos um x com (x,y)in R.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que xmid y significa que existe kinN com
y = k,x
Em particular, para cada xinN podemos escolher y = x (tomando k=1), e então xmid x. Logo todo xinN aparece como primeira coordenada de algum par em R.
Portanto
Dom(R)=N

Passo 3

Para achar a imagem, observamos que para qualquer yinN vale 1mid y (basta tomar k=y), pois y = ycdot1. Assim todo yinN aparece como segunda coordenada de algum par em R.
Portanto
Im(R)=N

Resposta

Domínio: N
Imagem: N

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