12 A altura de um cone de revolução é 2 raiz21 dm e cada geratriz mede 10 dm . Calcule:
a) a área lateral Aell do cone.
b) a área total AT do cone.
c) a área AS M de uma secção meridiana do cone.
d) a medida theta, em radiano, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral do cone.

Passo 1

O enunciado dá um cone de revolução com altura H=2raiz21,dm e geratriz l=10,dm. Pede-se a área lateral Aell, a área total AT, a área da secção meridiana ASM e o ângulo central theta do setor circular equivalente à superfície lateral. Para resolver vamos usar: 1) Teorema de Pitágoras para achar o raio r. 2) Fórmulas de área de cone e de triângulo. 3) Relação arco–ângulo em setor circular.

Passo 2

Aplicamos Pitágoras no triângulo geratriz–altura–raio:
r = raizl^2 - H^2 = raiz10^2 - (2raiz21)^2 = raiz100 - 84 = 4,dm

Passo 3

A área lateral de um cone é dada por Aell = pi,r,l. Substituindo:
Aell = pi cdot 4 cdot 10 = 40pi dm^2

Passo 4

A área da base é pi,r^2 = picdot4^2 = 16pi dm^2. Então a área total é
AT = Aell + (base) = 40pi + 16pi = 56pi dm^2

Passo 5

A secção meridiana é um triângulo de base 2r=8,dm e altura H=2raiz21,dm. Sua área é
ASM = tfrac12times8times2raiz21 = 8raiz21 dm^2

Passo 6

A superfície lateral desenrolada é um setor de círculo de raio l=10 cujo arco tem comprimento igual à circunferência da base, 2pi r = 8pi. No setor vale
theta = arcol = 8pi10 = 4pi5 rad

Resposta

a) Aell = 40pi dm^2
b) AT = 56pi dm^2
c) ASM = 8raiz21 dm^2
d) theta = tfrac4pi5 rad

Exercícios relacionados