(Valor 20.0 pts) Um circuito L R é constituido de um indutor com indutância L ligado em série a um resistor com resistência R. A corrente i(t) que passa neste circuito satisfaz a equaçāo diferencial
L d id t+R i=E(t)
Encontrar uma expressão para a corrente em um circuito onde a resistência é 12 ohms, a indutância é 4 Henry, uma pilha fornece uma voltagem constante de 60 volts e a corrente no instante t=0 é zero. Qual o valor-limite da corrente?

Passo 1

O enunciado dá um circuito em série com indutância L=4:H, resistência R=12:Omega e tensão constante E(t)=60:V. A corrente i(t) satisfaz a equação diferencial de primeiro ordem
Ldidt+R,i=E(t),
com condição inicial i(0)=0. Vamos usar técnicas de equação diferencial linear de coeficientes constantes para encontrar i(t) e seu valor limite.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo por L:
didt + RL,i = EL
Substituindo R=12 e L=4, vem
didt + 3,i = 15

Passo 3

Resolvemos a equação homogênea associada
dihdt + 3,ih = 0
cuja solução é
ih(t) = C,e^-3t
Para uma solução particular constante ip, basta fazer dip/dt=0, então
3,ip = 15 Longrightarrow ip = 5
A solução geral é
i(t) = ih(t) + ip = C,e^-3t + 5

Passo 4

Aplicamos a condição inicial i(0)=0:
i(0) = C,e^0 + 5 = C + 5 = 0 Longrightarrow C = -5
Logo
i(t) = 5 - 5,e^-3t = 5l(1 - e^-3tr)

Passo 5

O valor-limite da corrente ocorre quando ttoinfty. Como e^-3tto0, temos
limttoinfty i(t) = 5:A

Resposta

A corrente é
i(t) = 5l(1 - e^-3tr)(A),
e seu valor-limite é
limttoinfty i(t) = 5:A

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