Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções
f(x)=-x^2+10 x-21, para x>3

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = -x^2 + 10x - 21
com a restrição x>3.
Precisamos encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico dessa parte da parábola.

Passo 2

O domínio é dado diretamente pela restrição no enunciado.
Portanto
Domínio = x mid x>3 = (3,infty) í

Passo 3

Para achar a imagem, primeiro identificamos a concavidade e o vértice da parábola. Como o coeficiente de x^2 é a=-1<0, a parábola é côncava para baixo e tem um máximo.
O vértice ocorre em
xv = -b2a = -102cdot(-1) = 5
Calculando o valor de f no vértice, temos
f(5) = -(5)^2 + 10cdot5 -21 = -25 +50 -21 = 4
Esse é o valor máximo, pois a parábola abre para baixo.
À medida que x to infty, a parte -x^2 domina e f(x)to -infty.
Logo, a imagem é
Ima>=m = (-infty,,4]

Passo 4

Para esboçar o gráfico restringido a x>3, identificamos também onde a curva cruza o eixo x.
Resolvendo f(x)=0:
-x^2 +10x -21 = 0 Longrightarrow x^2 -10x +21=0 Longrightarrow x=3 ou x=7
O ponto x=3 fica fora do domínio, então temos um círculo aberto em (3,0). Já em x=7 a raiz está no domínio, marcamos um ponto (7,0).
O esboço é então a porção da parábola côncava para baixo que começa logo após (3,0) aberto, sobe até o vértice (5,4) — valor máximo — e depois desce cruzando (7,0) e tendendo a -infty para xtoinfty.

Resposta

Domínio: (3,infty)
Imagem: (-infty,4]
Gráfico: porção da parábola -x^2+10x-21 para x>3, com círculo aberto em (3,0), vértice em (5,4) e cruzamento no eixo x em (7,0).

Exercícios relacionados