Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções
, para
Passo 1
O enunciado nos dá a função
com a restrição
.
Precisamos encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico dessa parte da parábola.
Precisamos encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico dessa parte da parábola.
Passo 2
O domínio é dado diretamente pela restrição no enunciado.
Portanto
Portanto
Passo 3
Para achar a imagem, primeiro identificamos a concavidade e o vértice da parábola. Como o coeficiente de
é
, a parábola é côncava para baixo e tem um máximo.
O vértice ocorre em
O vértice ocorre em
Calculando o valor de
no vértice, temos
Esse é o valor máximo, pois a parábola abre para baixo.
À medida que , a parte
domina e
.
Logo, a imagem é
À medida que
Logo, a imagem é
Passo 4
Para esboçar o gráfico restringido a
, identificamos também onde a curva cruza o eixo
.
Resolvendo :
Resolvendo
O ponto
fica fora do domínio, então temos um círculo aberto em
. Já em
a raiz está no domínio, marcamos um ponto
.
O esboço é então a porção da parábola côncava para baixo que começa logo após aberto, sobe até o vértice
— valor máximo — e depois desce cruzando
e tendendo a
para
.
O esboço é então a porção da parábola côncava para baixo que começa logo após
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: porção da parábola para
, com círculo aberto em
, vértice em
e cruzamento no eixo
em
.
Imagem:
Gráfico: porção da parábola