Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções
f(x)=-x^4+10 x-21

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função
f(x) = -x^4 + 10x - 21:
1. Domínio;
2. Imagem (ou conjunto-valor);
3. Esboço do gráfico.
Como é um polinômio, vamos usar o fato de que polinômios têm domínio em todos os reais, e para achar a imagem vamos calcular a derivada, encontrar extremos e observar o comportamento nos limites.

Passo 2

Como f é um polinômio de quarto grau, ela está definida para todo xinR.
Logo,
Domínio(f)=R í

Passo 3

Para achar extremos, calculemos a derivada:
f'(x) = ddxl(-x^4+10x-21r) = -4x^3 + 10
Zerando a derivada para localizar pontos críticos:
-4x^3 + 10 = 0 Longrightarrow x^3 = 104 = 52 Longrightarrow x0 = raiz[,3]52
É o único ponto crítico real; como o coeficiente de x^4 é negativo, trata-se de um máximo global.

Passo 4

Avaliamo s f em x0:
f(x0) = -x0^4 + 10x0 - 21 = -l(x0^3cdot x0r) + 10x0 - 21 = -52,x0 + 10x0 - 21 = 152,x0 - 21,
onde x0 = (5/2)^1/3.
Em forma exata:
fmax = 152,gl(52gr)^!1/3 - 21
Numericamente, ,x0approx1,357 e fmaxapprox-10,82.

Passo 5

Como limxtopminftyf(x)=-infty e há um máximo global em f(x0), a imagem é
Ima>=m(f) =l(-infty,;f(x0)r] =l(-infty,;152l(tfrac52r)^1/3-21r]

Passo 6

Esboço do gráfico
  • Para , (coeficiente líder negativo).
  • Há único ponto de máximo em
    .
  • Por exemplo, , .
    O perfil é de uma curva em “colina” única, descendo para em ambos os lados.
Esquematicamente:
   y
    \uparrow
    \mid           \(\bullet\)(\(1,36\);\,-\(10,82\))
    \mid          / \\
    \mid         /   \\
    \mid   _____/     \\
    \mid  /            \\
    \mid /              \\
────\times/────────────────\rightarrow\times x
   -\(201,3623\)

Resposta

Domínio: R
Imagem: l(-infty,;152,(5/2)^1/3-21r]
Gráfico: quartica com máximo único em l((5/2)^1/3,,152(5/2)^1/3-21r) e limites -infty nas extremidades.

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