Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
Como é um polinômio, vamos usar o fato de que polinômios têm domínio em todos os reais, e para achar a imagem vamos calcular a derivada, encontrar extremos e observar o comportamento nos limites.
Passo 2
Como
é um polinômio de quarto grau, ela está definida para todo
.
Logo,
Logo,
Passo 3
Para achar extremos, calculemos a derivada:
Zerando a derivada para localizar pontos críticos:
É o único ponto crítico real; como o coeficiente de
é negativo, trata-se de um máximo global.
Passo 4
Avaliamo
em
:
onde
.
Em forma exata:
Em forma exata:
Numericamente,
e
.
Passo 5
Como
e há um máximo global em
, a imagem é
Passo 6
Esboço do gráfico
- Para
, (coeficiente líder negativo). - Há único ponto de máximo em
. - Por exemplo,
, .
O perfil é de uma curva em “colina” única, descendo paraem ambos os lados.
Esquematicamente:
y
\uparrow
\mid \(\bullet\)(\(1,36\);\,-\(10,82\))
\mid / \\
\mid / \\
\mid _____/ \\
\mid / \\
\mid / \\
────\times/────────────────\rightarrow\times x
-\(201,3623\)
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: quartica com máximo único em e limites
nas extremidades.
Imagem:
Gráfico: quartica com máximo único em