Utilize convoluções para determinar a transformada de Laplace de:
1(s-1) cdot(s-2)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
1(s-1)(s-2),
isto é, queremos achar a função f(t) tal que Lf(t)=(s-1)^-1(s-2)^-1. Vamos usar o Teorema da Convolução, que diz que a multiplicação de duas transformadas de Laplace corresponde à convolução de suas funções originais.

Passo 2

Separamos
F(s)=1(s-1)(s-2) = underbrace1s-1F1(s);times;underbrace1s-2F2(s)
Sabemos que
Le^t=1s-1, Le^2t=1s-2
Logo, F1(s) e F2(s) correspondem a f1(t)=e^t e f2(t)=e^2t.

Passo 3

Pelo Teorema da Convolução, a transformada inversa de F(s)=F1(s)F2(s) é
f(t) = (f1*f2)(t) = integral0^t f1(tau),f2(t-tau), dtau = integral0^t e^tau,e^2(t-tau), dtau

Passo 4

Na integral acima podemos fatorar e^2t:
f(t) = e^2tintegral0^t e^-tau, dtau = e^2tl[-e^-taur]0^t = e^2tl(1 - e^-tr) = e^2t - e^t

Resposta

f(t)=e^2t-e^t

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