Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
j(x)=2\left(1-e^{x}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função j definida por j(x)=2\left(1-e^{x}\right) e pede três coisas:
  • determinar o domínio de j;
  • determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de j(x));
  • esboçar o gráfico de j.
Informações fornecidas: a expressão explícita da função é j(x)=2-2e^{x}. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Domínio: entender o que limita os valores de x.
  • A função exponencial e^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}; não existe divisão por zero nem raiz de índice par com argumento negativo aqui.
  • Logo, não há restrição em x.
Portanto o domínio é \{x\in\mathbb{R}\}, isto é, \left(-\infty,\infty\right).

Passo 3

Conhecimento básico sobre e^{x} (mini-aula):
  • A função x\mapsto e^{x} tem domínio \left(-\infty,\infty\right) e imagem (0,\infty) — isto é, e^{x}>0 para todo x.
  • Propriedades de limites importantes: \lim_{x\to-\infty} e^{x}=0,\qquad \lim_{x\to\infty} e^{x}=+\infty.
  • Derivada: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Vou usar essas propriedades para entender a imagem e o comportamento da função j.

Passo 4

Expressar j de forma conveniente e analisar limites (para achar a imagem).
  • Reescrevendo: j(x)=2-2e^{x}. Isso é uma combinação linear de e^{x}.
  • Calcular os limites nas extremidades: \lim_{x\to-\infty} j(x)=\lim_{x\to-\infty}\bigl(2-2e^{x}\bigr)=2-2\cdot0=2,
\lim_{x\to\infty} j(x)=\lim_{x\to\infty}\bigl(2-2e^{x}\bigr)=2-2\cdot\infty=-\infty.
  • Como e^{x}>0 para todo x, temos 2-2e^{x}<2 para todo x. Não existe x tal que j(x)=2 porque isso exigiria e^{x}=0, impossível.
Conclusão parcial: os valores de j(x) vão de -\infty até valores arbitrariamente próximos de 2, sem chegar a 2. Logo a imagem é \left(-\infty,2\right).

Passo 5

Monotonicidade (mini-aula sobre derivada aplicada):
  • Derivada de j: j'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2-2e^{x}\bigr)=-2\frac{d}{dx}e^{x}=-2e^{x}.
  • Como e^{x}>0 para todo x, segue que j'(x)=-2e^{x}<0 para todo x.
  • Portanto j é estritamente decrescente em todo o domínio.
Isto confirma a ideia anterior: à medida que x aumenta, j(x) decresce desde valores próximos de 2 (à esquerda) até -\infty (à direita).

Passo 6

Interseções e pontos úteis para o esboço:
  • Interseção com o eixo y (quando x=0): j(0)=2\bigl(1-e^{0}\bigr)=2(1-1)=0.Então o gráfico passa por (0,0).
  • Resolver j(x)=0 dá o mesmo ponto: 2(1-e^{x})=0\Rightarrow e^{x}=1\Rightarrow x=0.
  • Valor em x=-1 (aproximação para marcar no esboço): j(-1)=2\bigl(1-e^{-1}\bigr)\approx 2(1-0,3679)\approx 2\cdot0,6321\approx1,2642.
  • Valor em x=1: j(1)=2\bigl(1-e^{1}\bigr)=2(1-e)\approx 2(1-2,718)\approx -3,436.
Esses pontos ajudam a posicionar a curva: em x=-1 está perto de 1{,}26, em x=0 cruza 0, e em x=1 já está em torno de -3{,}44.

Passo 7

Asíntota horizontal e transformação da função (como desenhar passo a passo — mini-aula de transformações):
  • Observação de assimptota: como \lim_{x\to-\infty} j(x)=2, existe uma assíntota horizontal à esquerda, a reta y=2. A função se aproxima de y=2 quando x\to-\infty, nunca a atinge.
  • Relação por transformações a partir de y=e^{x}:
    1. y=e^{x}: monta a forma padrão (aumenta para a direita, cerca de 0 para x\to-\infty).
    2. y=-e^{x}: reflexão em relação ao eixo x (agora a curva fica negativa para x grandes).
    3. y=-2e^{x}: estica verticalmente por fator 2.
    4. y=2-2e^{x}: translação vertical para cima de 2, produzindo a assíntota y=2 à esquerda.
  • Com esses passos: o gráfico é uma curva suave, estritamente decrescente, que se aproxima de y=2 quando x\to-\infty, cruza a origem em (0,0) e vai para -\infty quando x\to\infty.

Passo 8

Instruções finalizadas para esboçar (passo a passo no papel):
  • Desenhe a reta horizontal y=2 tracejada (assíntota à esquerda).
  • Marque os pontos (-1,\,1{,}264), (0,0) e (1,\,-3{,}436).
  • Trace uma curva contínua, suave e estritamente decrescente que passe por esses pontos, fique sempre abaixo de y=2 e tenda a y=2 quando x\to-\infty e tenda a -\infty quando x\to\infty.
Força aí — com esses passos dá para desenhar rápido e explicar o que acontece na prova!

Resposta

Domínio: \left(-\infty,\infty\right)
Imagem: \left(-\infty,2\right)
Esboço do gráfico: curva estritamente decrescente que passa por (0,0), aproxima-se da reta y=2 quando x\to-\infty (assíntota horizontal) e tende a -\infty quando x\to\infty.

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