Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede três coisas:
- determinar o domínio de
; - determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
); - esboçar o gráfico de
.
Informações fornecidas: a expressão explícita da função é
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Domínio: entender o que limita os valores de
.
- A função exponencial
está definida para todo ; não existe divisão por zero nem raiz de índice par com argumento negativo aqui. - Logo, não há restrição em
.
Portanto o domínio é
, isto é,
.
Passo 3
Conhecimento básico sobre
(mini-aula):
- A função
tem domínio e imagem — isto é, para todo . - Propriedades de limites importantes:
- Derivada:
.
Vou usar essas propriedades para entender a imagem e o comportamento da função
.
Passo 4
Expressar
de forma conveniente e analisar limites (para achar a imagem).
- Reescrevendo:
. Isso é uma combinação linear de . - Calcular os limites nas extremidades:
- Como
para todo , temos para todo . Não existe tal que porque isso exigiria , impossível.
Conclusão parcial: os valores de
vão de
até valores arbitrariamente próximos de
, sem chegar a
. Logo a imagem é
.
Passo 5
Monotonicidade (mini-aula sobre derivada aplicada):
- Derivada de
: - Como
para todo , segue que para todo . - Portanto
é estritamente decrescente em todo o domínio.
Isto confirma a ideia anterior: à medida que
aumenta,
decresce desde valores próximos de
(à esquerda) até
(à direita).
Passo 6
Interseções e pontos úteis para o esboço:
- Interseção com o eixo
(quando ): Então o gráfico passa por . - Resolver
dá o mesmo ponto: . - Valor em
(aproximação para marcar no esboço): - Valor em
:
Esses pontos ajudam a posicionar a curva: em
está perto de
, em
cruza
, e em
já está em torno de
.
Passo 7
Asíntota horizontal e transformação da função (como desenhar passo a passo — mini-aula de transformações):
- Observação de assimptota: como
, existe uma assíntota horizontal à esquerda, a reta . A função se aproxima de quando , nunca a atinge. - Relação por transformações a partir de
: -
: monta a forma padrão (aumenta para a direita, cerca de para ). -
: reflexão em relação ao eixo (agora a curva fica negativa para grandes). -
: estica verticalmente por fator . -
: translação vertical para cima de , produzindo a assíntota à esquerda.
-
- Com esses passos: o gráfico é uma curva suave, estritamente decrescente, que se aproxima de
quando , cruza a origem em e vai para quando .
Passo 8
Instruções finalizadas para esboçar (passo a passo no papel):
- Desenhe a reta horizontal
tracejada (assíntota à esquerda). - Marque os pontos
, e . - Trace uma curva contínua, suave e estritamente decrescente que passe por esses pontos, fique sempre abaixo de
e tenda a quando e tenda a quando .
Força aí — com esses passos dá para desenhar rápido e explicar o que acontece na prova!
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço do gráfico: curva estritamente decrescente que passa por , aproxima-se da reta
quando
(assíntota horizontal) e tende a
quando
.
Imagem:
Esboço do gráfico: curva estritamente decrescente que passa por