Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
i(x)=-3^{-x}.

Passo 1

O enunciado dá a função i(x)=-3^{-x} e pede três coisas:
  • Encontrar o domínio de i.
  • Encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis de i(x)).
  • Esboçar o gráfico de i.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão matemática é \,i(x)=-3^{-x}\,.
  • Não há restrições extras (por exemplo, raiz ou divisão por zero embutida) no enunciado.

Passo 2

Entendendo o que determina o domínio de uma função: o domínio são todos os valores de x para os quais a expressão da função está bem definida (sem divisão por zero, sem raiz par de número negativo, etc.). Aqui a expressão envolve uma potência com base 3 e expoente real -x.
Propriedade usada: para qualquer base positiva a>0, a potência a^{t} está bem definida para todo t\in\mathbb{R}. A base 3 é positiva, então 3^{-x} existe para todo x\in\mathbb{R}.
Conclusão do passo: o domínio é todo o conjunto dos reais.

Passo 3

É útil reescrever a função para ver sua forma mais clara. Usando propriedades de potências:
3^{-x}=\frac{1}{3^{x}}.
Portanto
i(x)=-3^{-x}=-\frac{1}{3^{x}}.
Essa forma rende intuições imediatas: 3^{x}>0 para todo x, então \dfrac{1}{3^{x}}>0, e o sinal negativo na frente garante que i(x) seja sempre negativo.

Passo 4

Determinar a imagem (range). Razão passo a passo:
  • Como 3^{x} varia em (0,\infty) quando x varia em \mathbb{R}, então \dfrac{1}{3^{x}} também varia em (0,\infty).
  • Multiplicar por -1 inverte o sinal de todos os valores, então -\dfrac{1}{3^{x}} varia em (-\infty,0).
Conclusão do passo: a imagem de i é (-\infty,0).

Passo 5

Comportamento para x muito grandes/pequenos (mostra assíntota e extremos):
  • Calcular \lim_{x\to\infty} i(x). Como 3^{x}\to\infty quando x\to\infty, tem-se \dfrac{1}{3^{x}}\to 0^{+}. Logo
\lim_{x\to\infty} i(x)=\lim_{x\to\infty} \left(-\frac{1}{3^{x}}\right)=0^{-}.
Isto indica que y=0 é uma assíntota horizontal e a função se aproxima de 0 por valores negativos (nunca toca o eixo x).
  • Calcular \lim_{x\to-\infty} i(x). Quando x\to-\infty, 3^{x}\to 0^{+}, logo \dfrac{1}{3^{x}}\to\infty e
\lim_{x\to-\infty} i(x)=-\infty.

Passo 6

Monotonicidade (se a função sobe ou desce): vamos derivar para saber.
Usar regra da cadeia. Primeiro escrevemos i(x)=-3^{-x}. Como 3^{-x}=e^{-x\ln 3}, derivamos:
\frac{d}{dx}\bigl(3^{-x}\bigr)=-\ln(3)\,3^{-x}.
Multiplicando pelo -1 que está na frente:
i'(x)=-\frac{d}{dx}\bigl(3^{-x}\bigr)=-\bigl(-\ln(3)\,3^{-x}\bigr)=\ln(3)\,3^{-x}.
Observação: \ln(3)>0 e 3^{-x}>0 para todo x, então i'(x)>0 para todo x. Portanto i é estritamente crescente em \mathbb{R}.
Explicação intuitiva: 3^{-x} é decrescente, mas o sinal negativo na frente inverte a direção, fazendo i(x) crescer conforme x aumenta.

Passo 7

Concavidade (formato da curvatura): segunda derivada para ver se curvatura para cima ou para baixo.
Diferenciando i'(x)=\ln(3)\,3^{-x}:
i''(x)=\ln(3)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(3^{-x}\bigr)=\ln(3)\cdot\bigl(-\ln(3)\,3^{-x}\bigr)=-(\ln 3)^2\,3^{-x}.
Como (\ln 3)^2>0 e 3^{-x}>0, tem-se i''(x)<0 para todo x. Conclusão: a função é côncava para baixo em toda a reta real.

Passo 8

Pontos notáveis e tabela rápida para esboçar:
  • Valor em x=0: i(0)=-3^{0}=-1. Ponto (0,-1).
  • Valor em x=1: i(1)=-3^{-1}=-\dfrac{1}{3}. Ponto (1,-\tfrac{1}{3}).
  • Valor em x=-1: i(-1)=-3^{1}=-3. Ponto (-1,-3).
Regras rápidas para desenhar o gráfico no caderno:
  • Trace o eixo x e y.
  • Desenhe uma linha tracejada horizontal em y=0 (assíntota).
  • Plote os pontos (-1,-3), (0,-1), (1,-\tfrac{1}{3}).
  • Ligue suavemente os pontos com uma curva que:
    • Vem de -\infty quando x\to-\infty,
    • Sobe monotonamente (sempre aumentando) e com curvatura para baixo,
    • Aproxima-se de y=0 por baixo quando x\to\infty, sem tocá-la.
Dicas de prova: para esboço rápido, basta marcar a assíntota y=0, o intercepto em y=-1 e a natureza (crescente, corta y em -1, nunca corta x) — isso já dá um gráfico suficientemente claro.

Passo 9

Resumo pedagógico e motivação rápida: a função é uma exponencial negativa que nunca zera porque vem de -1/(3^{x}). No exame, o caminho mais direto é reescrever a função, entender que 3^{x}>0 sempre, deduzir a imagem por mudança de sinal, e usar limites para a assíntota. Você já tem os pontos-chave para desenhar e justificar propriedades — respira, anota os pontos e a assíntota e desenha!

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,0)
Esboço do gráfico: função estritamente crescente e côncava para baixo, assíntota horizontal y=0, passa por (0,-1), (-1,-3), (1,-\tfrac{1}{3}) e nunca cruza o eixo x.

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