Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Encontrar o domínio de
. - Encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis de
). - Esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão matemática é
. - Não há restrições extras (por exemplo, raiz ou divisão por zero embutida) no enunciado.
Passo 2
Entendendo o que determina o domínio de uma função: o domínio são todos os valores de
para os quais a expressão da função está bem definida (sem divisão por zero, sem raiz par de número negativo, etc.). Aqui a expressão envolve uma potência com base
e expoente real
.
Propriedade usada: para qualquer base positiva
, a potência
está bem definida para todo
. A base
é positiva, então
existe para todo
.
Conclusão do passo: o domínio é todo o conjunto dos reais.
Passo 3
É útil reescrever a função para ver sua forma mais clara. Usando propriedades de potências:
Portanto
Essa forma rende intuições imediatas:
para todo
, então
, e o sinal negativo na frente garante que
seja sempre negativo.
Passo 4
Determinar a imagem (range). Razão passo a passo:
- Como
varia em quando varia em , então também varia em . - Multiplicar por
inverte o sinal de todos os valores, então varia em .
Conclusão do passo: a imagem de
é
.
Passo 5
Comportamento para
muito grandes/pequenos (mostra assíntota e extremos):
- Calcular
. Como quando , tem-se . Logo
Isto indica que
é uma assíntota horizontal e a função se aproxima de
por valores negativos (nunca toca o eixo
).
- Calcular
. Quando , , logo e
Passo 6
Monotonicidade (se a função sobe ou desce): vamos derivar para saber.
Usar regra da cadeia. Primeiro escrevemos . Como
, derivamos:
Usar regra da cadeia. Primeiro escrevemos
Multiplicando pelo
que está na frente:
Observação:
e
para todo
, então
para todo
. Portanto
é estritamente crescente em
.
Explicação intuitiva:
é decrescente, mas o sinal negativo na frente inverte a direção, fazendo
crescer conforme
aumenta.
Passo 7
Concavidade (formato da curvatura): segunda derivada para ver se curvatura para cima ou para baixo.
Diferenciando :
Diferenciando
Como
e
, tem-se
para todo
. Conclusão: a função é côncava para baixo em toda a reta real.
Passo 8
Pontos notáveis e tabela rápida para esboçar:
- Valor em
: . Ponto . - Valor em
: . Ponto . - Valor em
: . Ponto .
Regras rápidas para desenhar o gráfico no caderno:
- Trace o eixo
e . - Desenhe uma linha tracejada horizontal em
(assíntota). - Plote os pontos
, , . - Ligue suavemente os pontos com uma curva que:
- Vem de
quando , - Sobe monotonamente (sempre aumentando) e com curvatura para baixo,
- Aproxima-se de
por baixo quando , sem tocá-la.
- Vem de
Dicas de prova: para esboço rápido, basta marcar a assíntota
, o intercepto em
e a natureza (crescente, corta y em
, nunca corta x) — isso já dá um gráfico suficientemente claro.
Passo 9
Resumo pedagógico e motivação rápida: a função é uma exponencial negativa que nunca zera porque vem de
. No exame, o caminho mais direto é reescrever a função, entender que
sempre, deduzir a imagem por mudança de sinal, e usar limites para a assíntota. Você já tem os pontos-chave para desenhar e justificar propriedades — respira, anota os pontos e a assíntota e desenha!
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço do gráfico: função estritamente crescente e côncava para baixo, assíntota horizontal , passa por
,
,
e nunca cruza o eixo
.
Imagem:
Esboço do gráfico: função estritamente crescente e côncava para baixo, assíntota horizontal