Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
h(x)= \begin{cases}x+9, & x<-3 \\\\ -2 x, & -3 \leq x<3 \\\\ -6, & x \geq 3\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
h(x)= \begin{cases} x+9, & x<-3,\\[4pt] -2x, & -3\le x<3,\\[4pt] -6, & x\ge 3. \end{cases}
As perguntas são:
  • Encontrar o domínio de h.
  • Encontrar a imagem (o conjunto de valores que h toma).
  • Esboçar o gráfico de h.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A função está definida em três intervalos que cobrem toda a reta: x<-3, -3\le x<3 e x\ge 3.
  • Nas duas primeiras partes aparecem funções lineares ( x+9 e -2x). Na terceira parte é uma constante ( -6).
  • Os pontos de “troca” das regras são x=-3 e x=3.]

Passo 2

Domínio: o domínio é o conjunto de x onde a função está definida. Como as três fórmulas cobrem todos os reais (primeiro para x<-3, segundo para -3\le x<3, terceiro para x\ge 3), a função está definida para todo x\in\mathbb{R}.
Conclusão deste passo: o domínio é \mathbb{R}. Vou agora analisar os valores (imagens) que cada ramo produz.

Passo 3

Análise do ramo 1: h(x)=x+9 para x<-3.
  • Essa é uma reta de coeficiente angular 1 (sobe quando x aumenta).
  • Calcule o comportamento nas extremidades do intervalo x<-3:
    • Quando x\to -\infty, tem-se x+9\to -\infty.
    • Quando x\to -3^- (aproxima-se de -3 pela esquerda), tem-se x+9\to -3+9=6. Como o ramo só vale para x<-3, o valor 6 não é atingido por este ramo (aparece como limite à esquerda).
  • Portanto a imagem parcial deste ramo é (-\infty,6).
Vou explicar rápido o raciocínio: uma função linear x+9 sobre um intervalo aberto à direita (-\infty,-3) assume todos os valores menores que o valor limite no ponto de fronteira, por isso (-\infty,6).

Passo 4

Análise do ramo 2: h(x)=-2x para -3\le x<3.
  • Essa é uma reta com coeficiente angular -2 (decresce quando x aumenta).
  • Avaliando nas extremidades do intervalo fechado à esquerda e aberto à direita:
    • Em x=-3 temos h(-3)=-2(-3)=6. Como -3 está incluído no intervalo, o valor 6 é efetivamente assumido pela função (ponto fechado).
    • Quando x\to 3^- (aproxima-se de 3 pela esquerda), tem-se h(x)\to -2\cdot 3=-6. Como o intervalo é aberto em 3, o valor -6 não é atingido por este ramo (aparece como limite à esquerda).
  • Como a reta é contínua e decrescente em [-3,3), ela assume todos os valores entre o valor em -3 (que é 6) e os valores arbitrariamente próximos de -6, sem incluir -6. Logo a imagem parcial deste ramo é (-6,6].
  • Observação didática rápida: para uma reta ax+b em um intervalo, a imagem será um intervalo cuja orientação (se é [ \, , \, ] ou (\, , \,)) depende de incluir ou não as extremidades do domínio; o valor extremo maior ou menor depende do sinal de a.

Passo 5

Análise do ramo 3: h(x)=-6 para x\ge 3.
  • É uma função constante. Para qualquer x\ge 3 o valor é exatamente -6.
  • Portanto a imagem parcial deste ramo é o conjunto \{-6\}.
  • Note que esse ramo inclui o ponto x=3, então -6 está efetivamente assumido pela função.

Passo 6

União das imagens parciais para obter a imagem total:
  • Do ramo 1 temos (-\infty,6).
  • Do ramo 2 temos (-6,6].
  • Do ramo 3 temos \{-6\}.
Fazendo a união:
(-\infty,6)\\ \cup\\ (-6,6]\\ \cup\\ \{-6\} = (-\infty,6].
Explicando: (-\infty,6) já contém todos os números menores que 6, inclusive valores menores que -6. O ramo 2 preenche o intervalo entre valores próximos de -6 até 6, incluindo 6. O ramo 3 garante que -6 também é atingido. Assim o conjunto de todas as saídas é todos os números menores ou iguais a 6.
Conclusão deste passo: a imagem (contradomínio efetivamente atingido) é (-\infty,6].

Passo 7

Continuidade nos pontos de troca e pontos notáveis (ajuda para o esboço):
  • Em x=-3:
    • Limite à esquerda: \lim_{x\to -3^-}(x+9)=6.
    • Valor da função em -3: h(-3)=-2(-3)=6.
    • Portanto há continuidade em x=-3 (limite igual ao valor).
  • Em x=3:
    • Limite à esquerda: \lim_{x\to 3^-}(-2x)=-6.
    • Valor da função em 3: h(3)=-6 (terceiro ramo).
    • Portanto há continuidade em x=3.
  • Conclusão: h é contínua em toda a reta.

Passo 8

Esboço do gráfico — instruções passo a passo (faça no papel seguindo isto):
  1. Desenhe eixos x e y.
  2. Marque os pontos importantes:
    • Ponto (-3,6): neste ponto o ramo x+9 tem um ponto limite (aberto) e o ramo -2x tem um ponto incluído (fechado). Portanto desenhe um círculo preenchido em (-3,6) (valor efetivamente assumido) e, se quiser, um pequeno círculo aberto lá também para lembrar o limite da primeira parte — mas o essencial é o ponto preenchido em (-3,6).
    • Ponto (3,-6): o ramo -2x aproxima-se de (3,-6) por fora (círculo aberto para esse ramo), e o ramo constante tem um ponto preenchido em (3,-6). No desenho final haverá um ponto preenchido em (3,-6).
  3. Desenhe as três partes:
    • Para x<-3: desenhe a reta y=x+9 só para a região x<-3. Ela passa, por exemplo, por (-9,0) e segue até aproximar-se de (-3,6) (sem incluir esse ponto por esse ramo).
    • Para -3\le x<3: desenhe a reta y=-2x desde (-3,6) (ponto preenchido) passando por (0,0) e aproximando-se de (3,-6) sem inclui-lo (deixe um círculo aberto aí para este ramo).
    • Para x\ge 3: desenhe a reta horizontal y=-6 (constante) a partir de (3,-6) com ponto preenchido em (3,-6) e estendendo-se para a direita indefinidamente.
  4. Verifique que as transições estão sem “buracos” porque os pontos preenchidos em (-3,6) e (3,-6) garantem continuidade.
Resumo visual (texto que pode servir como legenda rápida do esboço):
  • Reta y=x+9 para x<-3, aproxima-se de (-3,6) (não inclui por esse ramo).
  • Reta y=-2x para -3\le x<3, inclui (-3,6), passa por (0,0), aproxima-se de (3,-6) (não inclui por esse ramo).
  • Segmento horizontal y=-6 para x\ge 3, inclui (3,-6) e segue para a direita.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,6]
Gráfico: reta y=x+9 para x<-3 (aproxima (-3,6) por esquerda, sem incluir); reta y=-2x para -3\le x<3 (inclui (-3,6), passa por (0,0), aproxima (3,-6) sem incluir); constante y=-6 para x\ge 3 (inclui (3,-6) e segue para a direita).

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