Encontre a edo de segunda ordem com a seguinte família de curvas integrais:
y=C1 e^-x+C2 x e^-x

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a família de curvas integrais
y = C1e^-x + C2x e^-x.
O conteúdo aqui é EDO de segunda ordem e vamos usar o método de eliminação de constantes, diferenciando sucessivamente para expressar C1 e C2 em termos de y, y' e y'' e, em seguida, eliminar as constantes.

Passo 2

Reescrevendo
y = (C1 + C2x)e^-x,
multiplicamos por e^x e obtemos
e^xy = C1 + C2x
Diferenciando em relação a x e lembrando que C2 é constante, vem
ddxl(e^xyr) = e^xy + e^xy' = C2,
ou seja,
C2 = e^xl(y + y'r)

Passo 3

Como C2 é constante, sua derivada é zero. Logo,
ddxl[e^x(y+y')r] = 0
Desenvolvendo a derivada:
e^x(y+y') + e^x(y' + y'') = e^xl(y + 2y' + y''r) = 0
Como e^xneq 0, concluímos que
y'' + 2y' + y = 0

Resposta

A equação diferencial procurada é
y'' + 2y' + y = 0

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