Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação 
  e precisa transformar ela na forma canônica de uma cônica, usando rotação ou translação de eixos, e depois identificar de qual cônica estamos lidando. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra envolvendo matrizes e transformações de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a equação tem um termo misto, o 
 . Esse termo indica que o gráfico da equação está rotado em relação aos eixos coordenados. Nosso objetivo é eliminar esse termo para facilitar a identificação da cônica. Para fazer isso, vamos usar uma rotação de eixos.
Passo 3
A rotação de eixos envolve trocar as coordenadas 
  por novas coordenadas 
  de tal forma que o termo 
  desapareça. A fórmula para eliminar o termo 
  é encontrar o ângulo 
  que satisfaz:
Onde na nossa equação, 
 , 
 , e 
 . Vamos calcular 
 .
Passo 4
Calculando 
 :
Então,
Passo 5
Agora que temos o ângulo 
 , podemos usar as fórmulas de rotação para transformar as coordenadas:
Substituindo essas expressões na equação original e simplificando, eliminamos o termo 
 .
Passo 6
Após a substituição e simplificação, chegamos a uma equação sem o termo 
 . A equação canônica resultante terá a forma de uma elipse ou hipérbole, dependendo dos coeficientes. Vamos verificar os novos coeficientes para identificar a cônica.
Passo 7
Calculando os novos coeficientes após a rotação, encontramos:
Onde 
  e 
  são positivos e diferentes, o que caracteriza uma elipse.
Resposta
A equação canônica da cônica é uma elipse, obtida após uma rotação de eixos que elimina o termo 
 . A forma final é 
 , onde 
  e 
  são coeficientes positivos determinados pela rotação.