A matriz mudança de uma base B do 
  para a base 
  desse mesmo espaço é:
 
Determine a base B.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz que representa a mudança de base de uma base 
  em 
  para a base 
 . Nosso objetivo é descobrir qual é essa base 
 . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre mudança de base e matrizes de transição. Vamos juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma mudança de base. Em espaços vetoriais, uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o espaço. Quando mudamos de uma base para outra, usamos uma matriz de transição que nos ajuda a converter as coordenadas dos vetores de uma base para a outra.
Passo 3
A matriz de mudança de base que você forneceu é:
Essa matriz faz a transição da base 
  para a base 
 . Para encontrar a base 
 , precisamos descobrir quais vetores em 
  correspondem às colunas dessa matriz quando passamos da base 
  para a base conhecida.
Passo 4
Para encontrar a base 
 , vamos usar a inversa da matriz de mudança de base. Basicamente, a matriz inversa nos permite voltar de onde viemos. Então, vamos calcular a inversa da matriz que você forneceu:
A inversa de uma matriz 
  é dada por:
Passo 5
Vamos calcular o determinante de 
 :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz 
  é invertível.
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula da inversa:
Passo 7
A inversa 
  nos dá a matriz de mudança de base da base 
  para a base 
 . Cada coluna de 
  representa os coordenadas dos vetores da base 
  na base conhecida.
Passo 8
Vamos interpretar as colunas de 
 :
Primeira coluna: 
Segunda coluna: 
Isso significa que os vetores da base 
  são:
Resposta
A base 
  é formada pelos vetores 
  e 
 .