Informações relevantes dadas: \;A é a matriz 2\times2 mostrada acima.
As perguntas são exatamente: (1) qual é a equação característica de A? (2) quais são os autovalores de A? (3) quais são bases para os autoespaços correspondentes a esses autovalores?]
Passo 2
Definição e método para achar a equação característica: a equação característica de uma matriz A é dada pelo polinômio
p(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade da mesma ordem e \lambda é a variável (o que chamamos de autovalor quando p(\lambda)=0). Para uma matriz 2\times2, se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, vale a fórmula do determinante
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}a-\lambda & b\\\ c & d-\lambda\end{pmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
Verificação rápida: Ae_1= \begin{pmatrix}2\\[4pt] 0\end{pmatrix}=2e_1 e Ae_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 2\end{pmatrix}=2e_2, então ambos são autovetores associados a \lambda=2. Como e_1 e e_2 são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^2, formam uma base de E_{2}.]
Passo 7
Interpretação e observação útil (pra prova): A é um múltiplo escalar da identidade (A=2I). Para matrizes da forma cI (com c escalar), todo vetor é autovetor correspondente ao autovalor c. Aqui isso explica por que o autoespaço tem dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica do autovalor. Isso significa também que A é diagonalizável (mas não precisava provar isso aqui, só lembrar como usar em outras questões).