encontre a equação característica, os autovalores e bases para os autoespaços.
\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a equação característica, os autovalores e bases para os autoespaços da matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
\;A é a matriz 2\times2 mostrada acima.
As perguntas são exatamente: (1) qual é a equação característica de A? (2) quais são os autovalores de A? (3) quais são bases para os autoespaços correspondentes a esses autovalores?]

Passo 2

Definição e método para achar a equação característica: a equação característica de uma matriz A é dada pelo polinômio
p(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade da mesma ordem e \lambda é a variável (o que chamamos de autovalor quando p(\lambda)=0). Para uma matriz 2\times2, se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, vale a fórmula do determinante
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}a-\lambda & b\\\ c & d-\lambda\end{pmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
Vou aplicar essa fórmula à nossa matriz A.

Passo 3

Calcular p(\lambda)=\det(A-\lambda I) para A.
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 0\\[4pt] 0 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula do determinante:
p(\lambda)= (2-\lambda)(2-\lambda)-0\cdot0 = (2-\lambda)^2.
Portanto a equação característica é p(\lambda)=(2-\lambda)^2.]

Passo 4

Encontrar os autovalores: resolvemos p(\lambda)=0.
(2-\lambda)^2=0 \quad\Rightarrow\quad 2-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=2.
Logo \lambda=2 é o único autovalor, com multiplicidade algébrica igual a 2 (porque o fator (2-\lambda) aparece ao quadrado no polinômio).

Passo 5

Definir e calcular o autoespaço associado a \lambda=2: o autoespaço é
E_{2}=\ker(A-2I)=\{v\in\mathbb{R}^2 \mid (A-2I)v=0\}.
Calcule A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Então a equação (A-2I)v=0 é simplesmente
\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix},
que não impõe nenhuma restrição a x e y. Portanto qualquer vetor v=(x,y)\in\mathbb{R}^2 satisfaz a equação, isto é,
E_{2}=\mathbb{R}^2.]

Passo 6

Encontrar uma base para o autoespaço E_{2}: como E_{2}=\mathbb{R}^2, uma base natural é a base canônica formada por
e_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: Ae_1= \begin{pmatrix}2\\[4pt] 0\end{pmatrix}=2e_1 e Ae_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 2\end{pmatrix}=2e_2, então ambos são autovetores associados a \lambda=2. Como e_1 e e_2 são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^2, formam uma base de E_{2}.]

Passo 7

Interpretação e observação útil (pra prova): A é um múltiplo escalar da identidade ( A=2I). Para matrizes da forma cI (com c escalar), todo vetor é autovetor correspondente ao autovalor c. Aqui isso explica por que o autoespaço tem dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica do autovalor. Isso significa também que A é diagonalizável (mas não precisava provar isso aqui, só lembrar como usar em outras questões).

Resposta

Equação característica: (2-\lambda)^2
Autovalores: \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2)
Base para o autoespaço E_{2}: \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}]

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