Encontre a equação cartesiana das curvas representadas pelas seguintes equações polares:
r^{2}=4 \cos (2 \theta)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação cartesiana da curva dada na forma polar por
r^{2}=4\cos(2\theta).
Informações dadas:
  • A equação está em coordenadas polares, com variável radial r e ângulo \theta.
  • Queremos transformar essa relação para coordenadas cartesianas (x,y).

Passo 2

Lembrando as relações entre coordenadas polares e cartesianas (essas são as ferramentas que vamos usar):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
o que implica também
r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Além disso, a identidade trigonométrica dupla para cosseno é
\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta.
Vou explicar por que essa identidade é útil: ela expressa \cos(2\theta) em termos de \cos\theta e \sin\theta, e como x e y envolvem \cos\theta e \sin\theta multiplicados por r, conseguiremos escrever \cos(2\theta) em função de x,y e r.

Passo 3

Use a identidade para escrever \cos(2\theta) em termos de \cos\theta e \sin\theta:
\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta.
Agora escrevemos \cos\theta e \sin\theta em função de x,y,r:
\cos\theta=\frac{x}{r},\qquad \sin\theta=\frac{y}{r}.
Substituindo na identidade:
\cos(2\theta)=\left(\frac{x}{r}\right)^{2}-\left(\frac{y}{r}\right)^{2}=\frac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}}.

Passo 4

Voltemos à equação polar dada \,r^{2}=4\cos(2\theta)\, e substituímos a expressão obtida para \cos(2\theta):
r^{2}=4\cdot\frac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por r^{2} para eliminar o denominador:
r^{4}=4\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
Agora substituímos r^{2}=x^{2}+y^{2} no membro esquerdo:
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}=4\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
Pronto: essa é a equação cartesiana da curva.

Passo 5

Podemos expandir a equação para um polinômio explícito se for útil:
x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-4x^{2}+4y^{2}=0.
Algumas observações didáticas e úteis para interpretar a curva (para você se situar na prova):
  • A relação original exige \cos(2\theta)\ge 0, porque r^{2}\ge 0. Como \cos(2\theta)=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}}, isso equivale a x^{2}-y^{2}\ge 0, ou seja |x|\ge |y|. Logo a curva existe apenas nas regiões onde |x|\ge|y| (entre as retas y=\pm x inclusive).
  • A curva é a lemniscata de Bernoulli com escala: tem dois laços simétricos ao longo do eixo x, com pontos extremos em (\pm 2,0) (quando \cos(2\theta)=1 obtemos r=2).
  • Em \theta=\pi/4 (e simetricamente \theta=3\pi/4, etc.) temos \cos(2\theta)=0, logo r=0 e a curva passa pela origem nessas direções.

Resposta

\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}=4\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)

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