Encontre a equação cartesiana das curvas representadas pelas seguintes equações polares:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação cartesiana da curva dada na forma polar por
Informações dadas:
- A equação está em coordenadas polares, com variável radial
e ângulo . - Queremos transformar essa relação para coordenadas cartesianas
.
Passo 2
Lembrando as relações entre coordenadas polares e cartesianas (essas são as ferramentas que vamos usar):
o que implica também
Além disso, a identidade trigonométrica dupla para cosseno é
Vou explicar por que essa identidade é útil: ela expressa
em termos de
e
, e como
e
envolvem
e
multiplicados por
, conseguiremos escrever
em função de
e
.
Passo 3
Use a identidade para escrever
em termos de
e
:
Agora escrevemos
e
em função de
:
Substituindo na identidade:
Passo 4
Voltemos à equação polar dada
e substituímos a expressão obtida para
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora substituímos
no membro esquerdo:
Pronto: essa é a equação cartesiana da curva.
Passo 5
Podemos expandir a equação para um polinômio explícito se for útil:
Algumas observações didáticas e úteis para interpretar a curva (para você se situar na prova):
- A relação original exige
, porque . Como , isso equivale a , ou seja . Logo a curva existe apenas nas regiões onde (entre as retas inclusive). - A curva é a lemniscata de Bernoulli com escala: tem dois laços simétricos ao longo do eixo
, com pontos extremos em (quando obtemos ). - Em
(e simetricamente , etc.) temos , logo e a curva passa pela origem nessas direções.