Encontre a equação polar das curvas representadas pelas seguintes equações cartesianas:
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=4 x^{2} y^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação cartesiana
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=4x^{2}y^{2}
e pede: encontrar a(s) equação(ões) polar(es) correspondente(s) a essa(s) curva(s).
Informações dadas relevantes:
  • A equação cartesiana acima é a única informação numérica; não há figura nem outros dados.
  • A pergunta é: qual a forma da mesma curva quando expressa em coordenadas polares?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares e as relações básicas entre coordenadas cartesianas e polares (isso é essencial para fazer a conversão). Em coordenadas polares usamos duas variáveis: r (distância do ponto à origem) e \theta (ângulo entre o eixo x e o raio). As fórmulas de conversão são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Aqui:
  • \;r\ge 0\; mede a distância até a origem;
  • \theta é o ângulo polar (qualquer representante pode ser usado, tipicamente \theta\in\mathbb{R}).
    Essas relações valem para qualquer ponto no plano e são a ferramenta que vamos usar para mudar a equação de cartesianas para polares.

Passo 3

Agora substituímos as expressões polares na equação dada. A parte esquerda é
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=(r^{2})^{3}=r^{6}.
A parte direita é
4x^{2}y^{2}=4\big(r\cos\theta\big)^{2}\big(r\sin\theta\big)^{2} =4r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta.
Portanto a equação torna-se
r^{6}=4r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta.

Passo 4

Vamos simplificar a igualdade anterior. Se r=0 a igualdade é satisfeita (origem). Para r\neq 0 podemos dividir ambos os lados por r^{4} (isso é seguro para r\neq0) e obtemos:
r^{2}=4\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta.
Agora aplicamos uma identidade trigonométrica útil. Lembrando que \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, ao elevar ao quadrado temos
\sin^{2}2\theta = 4\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta.
Logo
4\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta=\sin^{2}2\theta.
Substituindo isso na igualdade para r^{2} obtemos
r^{2}=\sin^{2}2\theta.

Passo 5

Da relação r^{2}=\sin^{2}2\theta tiramos as formas equivalentes para r. Tomando raiz quadrada em ambos os lados:
r=\pm\sin 2\theta.
Como em coordenadas polares costumamos usar r\ge 0, uma forma conveniente e direta da equação polar é
r=|\sin 2\theta|,
que é equivalente geometricamente a r^{2}=\sin^{2}2\theta. Lembre-se também que r=0 (a origem) aparece nos ângulos onde \sin 2\theta=0, e a forma com \pm cobre pontos com r<0 que são representações polares dos mesmos pontos com r>0 e ângulo deslocado de \pi.

Resposta

r^{2}=\sin^{2}2\theta
\text{equivalentemente: }r=\pm\sin 2\theta\quad\text{ou}\quad r=|\sin 2\theta|

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