Encontre a equação polar das curvas representadas pelas seguintes equações cartesianas:
Passo 1
O enunciado fornece a equação cartesiana
e pede: encontrar a(s) equação(ões) polar(es) correspondente(s) a essa(s) curva(s).
Informações dadas relevantes:
Informações dadas relevantes:
- A equação cartesiana acima é a única informação numérica; não há figura nem outros dados.
- A pergunta é: qual a forma da mesma curva quando expressa em coordenadas polares?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares e as relações básicas entre coordenadas cartesianas e polares (isso é essencial para fazer a conversão). Em coordenadas polares usamos duas variáveis:
(distância do ponto à origem) e
(ângulo entre o eixo
e o raio). As fórmulas de conversão são:
Aqui:
-
mede a distância até a origem; -
é o ângulo polar (qualquer representante pode ser usado, tipicamente ).
Essas relações valem para qualquer ponto no plano e são a ferramenta que vamos usar para mudar a equação de cartesianas para polares.
Passo 3
Agora substituímos as expressões polares na equação dada. A parte esquerda é
A parte direita é
Portanto a equação torna-se
Passo 4
Vamos simplificar a igualdade anterior. Se
a igualdade é satisfeita (origem). Para
podemos dividir ambos os lados por
(isso é seguro para
) e obtemos:
Agora aplicamos uma identidade trigonométrica útil. Lembrando que
, ao elevar ao quadrado temos
Logo
Substituindo isso na igualdade para
obtemos
Passo 5
Da relação
tiramos as formas equivalentes para
. Tomando raiz quadrada em ambos os lados:
Como em coordenadas polares costumamos usar
, uma forma conveniente e direta da equação polar é
que é equivalente geometricamente a
. Lembre-se também que
(a origem) aparece nos ângulos onde
, e a forma com
cobre pontos com
que são representações polares dos mesmos pontos com
e ângulo deslocado de
.