Prove que são verdadeiras as seguintes desigualdades:
\sqrt{3 \sqrt{3}}<\frac{7}{\sqrt{3}}.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que a desigualdade \sqrt{3 \sqrt{3}}<\dfrac{7}{\sqrt{3}} é verdadeira.
Informações dadas:
  • A expressão à esquerda é \sqrt{3 \sqrt{3}}.
  • A expressão à direita é \dfrac{7}{\sqrt{3}}.
Não há outras condições adicionais; ambas as expressões são positivas (pois envolvem raízes quadradas de números positivos).

Passo 2

Primeira observação importante (ferramenta que vamos usar). Se a\ge 0 e b\ge 0, então a função x\mapsto x^2 é estritamente crescente em [0,\infty). Isso significa que, para a,b\ge0,
a<b \quad\Longleftrightarrow\quad a^2<b^2.
Portanto, quando queremos comparar duas quantidades não negativas, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem inverter a desigualdade. Vou usar isso aqui porque ambas as quantidades da desigualdade são positivas.

Passo 3

Elevar os dois lados ao quadrado (justificado pelo passo anterior). Calculamos cada quadrado:
  • Lado esquerdo:
\left(\sqrt{3\sqrt{3}}\right)^2 = 3\sqrt{3}.
  • Lado direito:
\left(\dfrac{7}{\sqrt{3}}\right)^2 = \dfrac{49}{3}.
Assim a desigualdade original é equivalente à desigualdade
3\sqrt{3} < \dfrac{49}{3}.

Passo 4

Multiplico ambos os lados por 3 (número positivo, portanto não altera o sentido da desigualdade):
9\sqrt{3} < 49.
Agora vou estimar 9\sqrt{3} por cima usando uma desigualdade simples: como 3<4 temos
\sqrt{3}<\sqrt{4}=2.
Multiplicando por 9 (positivo) obtemos
9\sqrt{3} < 9\cdot 2 = 18.

Passo 5

Comparando 18 com 49 vemos que 18<49. Pela cadeia de desigualdades obtida:
9\sqrt{3} < 18 < 49,
portanto 9\sqrt{3}<49. Isso é exatamente a desigualdade obtida no Passo 3 após manipulações, então a desigualdade reduzida é verdadeira, e por consequência a desigualdade original também é verdadeira.

Resposta

\sqrt{3 \sqrt{3}}<\dfrac{7}{\sqrt{3}}

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