Prove que são verdadeiras as seguintes desigualdades:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que a desigualdade
é verdadeira.
Informações dadas:
- A expressão à esquerda é
. - A expressão à direita é
.
Não há outras condições adicionais; ambas as expressões são positivas (pois envolvem raízes quadradas de números positivos).
Passo 2
Primeira observação importante (ferramenta que vamos usar). Se
e
, então a função
é estritamente crescente em
. Isso significa que, para
,
Portanto, quando queremos comparar duas quantidades não negativas, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem inverter a desigualdade. Vou usar isso aqui porque ambas as quantidades da desigualdade são positivas.
Passo 3
Elevar os dois lados ao quadrado (justificado pelo passo anterior). Calculamos cada quadrado:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Assim a desigualdade original é equivalente à desigualdade
Passo 4
Multiplico ambos os lados por
(número positivo, portanto não altera o sentido da desigualdade):
Agora vou estimar
por cima usando uma desigualdade simples: como
temos
Multiplicando por
(positivo) obtemos
Passo 5
Comparando
com
vemos que
. Pela cadeia de desigualdades obtida:
portanto
. Isso é exatamente a desigualdade obtida no Passo 3 após manipulações, então a desigualdade reduzida é verdadeira, e por consequência a desigualdade original também é verdadeira.