Encontre a equação da distribuição de temperaturas no interior elemento combustível, resolvendo a equação diferencial encontrada na letra a) e aplicando as condições de contorno pertinentes.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação da distribuição de temperaturas dentro de um elemento combustível. Para isso, vamos resolver uma equação diferencial que, presumivelmente, foi apresentada na letra a) do exercício, e depois aplicar as condições de contorno apropriadas.
O conteúdo aqui envolve transferência de calor e equações diferenciais. Vamos precisar saber como resolver equações diferenciais ordinárias e entender como aplicar as condições de contorno para encontrar a solução específica para o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a equação diferencial que geralmente descreve a distribuição de temperatura em um material no estado estacionário (ou seja, sem variação no tempo). A equação básica da condução de calor em uma dimensão é:
Aqui:
-
é a temperatura em função da posição . -
é a geração de calor por unidade de volume. -
é a condutividade térmica do material.
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que precisamos resolver para encontrar
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação diferencial:
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a integração:
Integrando uma vez em relação a
:
Aqui,
é uma constante de integração que iremos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Vamos integrar novamente para encontrar
:
Agora,
é outra constante de integração que também será determinada pelas condições de contorno.
Passo 5
Para encontrar as constantes
e
, precisamos aplicar as condições de contorno fornecidas no problema. Vamos supor que as condições de contorno são:
- A temperatura em
é : . - A temperatura em
é : .
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos escrever a solução completa para
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Resposta
A equação da distribuição de temperaturas no interior do elemento combustível é:
Essa equação descreve como a temperatura varia ao longo da posição
dentro do elemento combustível, considerando a geração de calor interna e as condições de contorno estabelecidas.